婆什迦罗二世（Bhāskarāchārya，Bhāskara II）
12世纪印度古典数学的巅峰人物，集婆罗摩笈多以来的印度数学之大成，在不定方程、零与负数运算、三角恒等式与微积分雏形上领先欧洲数百年。
一、生平与时代背景
婆什迦罗二世（Bhāskara II，常称 Bhāskarāchārya，意为"老师婆什迦罗"）公元1114年生于印度维贾亚普拉（Vijayapura，今比贾布尔一带），其父 Maheśvara 是一位婆罗门占星家——印度社会中常有家族世代精于数学并以师徒方式相传。他后来成为乌贾因（Ujjain）天文台台长，而乌贾因是当时印度首要的数学中心，婆罗多迷希拉（Varāhamihira）与婆罗摩笈多（Brahmagupta）都曾在此工作，形成了强大的数学天文学传统。1185年卒于乌贾因。
在许多方面，婆什迦罗二世代表了12世纪数学知识的顶峰：他对数系与解方程的理解，欧洲要几个世纪之后才能达到。他共有六部著作传世（第七部据称出自他手，但多数学者认为是后世伪作），其中前三部最重要。他的著作以高度压缩的梵文诗体（便于记诵与口传）写成，常配有散文注释。
二、学术生涯年表
| 年份 | 事件 |
|---|---|
| 1114 | 生于印度维贾亚普拉（Vijayapura） |
| 约1150 | 完成《悉檀多顶饰》（含《莉拉沃蒂》《算法本源》） |
| 12世纪中 | 任乌贾因天文台台长，继承婆罗摩笈多的数学传统 |
| 约1185 | 卒于乌贾因 |
| 1587 | Fyzi 将《莉拉沃蒂》译为波斯语，并附"莉拉沃蒂为其女"的故事（后世传说） |
三、核心成果（逐条技术解析）
1. 循环法（chakravala）系统求解佩尔型方程。 问题背景：婆罗摩笈多已研究不定方程 $px^2+1=y^2$（即佩尔方程），并给出"组合法"（bhāvanā），但缺乏系统的通用解法。关键思想：婆什迦罗二世在《算法本源》中给出循环法（chakravala，意为"循环"），从一个近似解出发，通过反复迭代并消去中间量，最终得到 $x^2-ny^2=1$ 的整数解。精确结果：他对 $p=8,11,32,61,67$ 给出解，其中 $61x^2+1=y^2$ 的解为 $x=226153980,\ y=1776319049$，$67x^2+1=y^2$ 的解为 $x=5967,\ y=48842$。值得注意：方程 $61x^2+1=y^2$ 由费马在1657年重新提出，欧洲直到18世纪欧拉才解出。与前人关系：在婆罗摩笈多组合法基础上系统化为通用算法；部分学者认为更早的 Jayadeva（约11世纪）已提出类似方法，但婆什迦罗二世是现存文献中完整系统阐述者。
2. 零与负数的运算。 婆什迦罗二世继承并超越了婆罗摩笈多对零与负数的理解。（a）负数：在《算法本源》中系统给出正负数的加减乘除规则，负数在数字上方加"点"（bindu）标记；他知道 $x^2=9$ 有两个解（$\pm3$），并在"猴群问题"中接受二次方程的两个正解（16与48）。（b）零：在《莉拉沃蒂》中给出 $(a\cdot0)/0=a$ 的规则；在《算法本源》中进一步改进，写道"一个量除以零成为分母为零的分数，称为无穷量（khāhara）……如同无限而不变的神，尽管世界被创造或毁灭，众多存在被吸入或生出，它都不变"——即尝试以 $n/0=\infty$ 处理除零。局限性：从现代观点看 $n/0=\infty$ 在逻辑上不成立（否则 $0\cdot\infty$ 等于任意数，所有数相等），印度数学家始终未承认零不能做除数；有学者（Mallayya）认为其 $(a\cdot0)/0=a$ 中的零相当于非零"无穷小"，但这可能是过度解读（存疑）。
3. 瞬时速度与微分思想雏形。 在《悉檀多顶饰》的《行星算术》（Grahagaṇita，451颂）中，婆什迦罗二世区分了行星的"瞬时运动"（tātkālika gati）与平均运动（madhyama gati）。关键结果：他给出一个可被解读为"余弦是正弦的导数"的关系——若弧（异常角）有微小增量，则两正弦之差 $\sin(\theta+\Delta\theta)-\sin\theta$ 近似正比于 $\cos\theta\cdot\Delta\theta$（其梵文诗句："半直径的余弦乘以异常角增量，除以半径，即得两正弦之差"）。他还指出，当行星视运动达到极值（parama phala）时，其瞬时变化为零——这是"运动在极值处平稳"的早期天文学认识。与前人关系：10世纪 Mañjula 的《Laghu-mānasa》中已有正弦差分的高度浓缩形式，但婆什迦罗二世更明确地把它与瞬时速度联系起来。局限性：他并未发展出一般的导数概念，也未形成系统的微积分。
4. 库塔卡（kuṭṭaka）与一次不定方程。 婆什迦罗二世继承并发展了印度的库塔卡（"粉碎"）法求解一次不定方程。《莉拉沃蒂》第12章举例：求一数使 $195x=221y+65$，得解 $(x,y)=(6,5),(23,20),(40,35),\dots$；《算法本源》中还把库塔卡推广到三未知数情形 $ax+by+cz=d$。与前人关系：库塔卡法源于阿耶波多、婆罗摩笈多，婆什迦罗二世加以系统化并扩展应用范围。
5. 三角恒等式与球面三角学。 在《悉檀多顶饰》中，他给出 $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ 与 $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ 等恒等式，并发展了球面三角学（用于天文学计算）。与前人关系：印度的正弦（jyā）传统源自希腊弦表经托勒密传入，婆什迦罗二世把三角学从纯计算工具提升为有自身兴趣的研究对象。
6. 勾股定理的证明与组合数学。 在《算法本源》中给出勾股定理的两种证明，其中一种是著名的"切分重排"图证（四个全等直角三角形嵌入斜边正方形，中央留一边长 $a-b$ 的小正方形），并配以梵文"Paśya"（"看哪！/Behold!"）。此外《莉拉沃蒂》末章论组合：求各位数字（1—9）之和为 $S$ 的 $n$ 位数的个数，是组合计数的早期成果。他还给出嵌套根式公式 $\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$。
7. 罗尔定理的早期陈述（存疑）。 有资料称婆什迦罗二世在《行星算术》中陈述了罗尔定理的特殊情形（可微函数在极值处导数为零）但未证明；其"行星视运动达极值时瞬时变化为零"的观察确实与此精神相通，但是否构成对罗尔定理的明确陈述存在解读差异，故标为存疑。
四、代表著作与文献
- 《莉拉沃蒂》（Līlāvatī，"美丽者"）：数学入门，13章，含定义、比例、利息、等差等比级数、平面与立体几何、日晷影、库塔卡、组合。
- 《算法本源》（Bījagaṇita，"种子计算"）：代数专著，12章，现存最早的印度独立代数论著，含正负数、零、未知数、无理数、库塔卡、二次不定方程、多未知数方程。
- 《悉檀多顶饰》（Siddhāntaśiromaṇi）：分两部分——《行星算术》（Grahagaṇita，数学天文学）与《球体论》（Golādhyāya，球面）；含瞬时速度、球面三角。
- 《Mitākṣarā 的 Vāsanābhāṣya》：他为《悉檀多顶饰》自作的注释。
- 《计算之奇》（Karaṇakoṭuhala，又名 Brahmatulya）：《悉檀多顶饰》的简化版。
- 《Vivaraṇa》：对 Lalla《Śiṣyadhīvṛddhidatantra》的注释。
- 第七部据称为其著作，多数学者认为是后世伪作。
五、师承、学派与同时代交往
- 家族传统：父 Maheśvara 为占星家，家族世代精数学与天文，父子相承。
- 学派：乌贾因学派，上承婆罗多迷希拉、婆罗摩笈多的数学天文学传统。
- 前辈影响：阿耶波多（库塔卡、正弦）、婆罗摩笈多（零、负数、佩尔方程组合法）、Mañjula（正弦差分）。
- 后世：其著作长期主导印度数学；16世纪由 Fyzi 译为波斯语；其不定方程方法经阿拉伯传入欧洲，影响费马与欧拉。
六、争议、公案与历史评价
- "莉拉沃蒂"命名的传说：1587年 Fyzi 的波斯译本讲述了一个故事——莉拉沃蒂是婆什迦罗二世之女，他为女儿卜算婚礼吉时，设水钟，女儿好奇俯身时一颗珍珠堵住水钟小孔，吉时错过，女儿终身未嫁，婆什迦罗便写此书安慰她。此说流传甚广，但没有可靠史料佐证，甚至"莉拉沃蒂是其女儿还是妻子"都不确定，标为存疑。
- 除零等于无穷：从现代数学看 $n/0=\infty$ 不成立，婆什迦罗二世的处理是思想性探索而非严格结论。
- chakravala 优先权：现存文献中婆什迦罗二世完整给出循环法，但有学者认为更早的 Jayadeva 已提出类似方法；一般仍以婆什迦罗二世为系统阐述者。
- 历史评价：印度古典数学的巅峰与集大成者；月球上有以他命名的环形山（Bhaskara）。
七、身后影响与学术谱系
- 其著作在印度被研习数个世纪，是印度数学教育的核心文本。
- 不定方程（尤其是佩尔方程）的解法经阿拉伯世界传入欧洲，费马1657年重新提出的 $61x^2+1=y^2$ 正是婆什迦罗二世早已解出的方程，显示了印度数学的领先。
- 其瞬时速度与正弦差分思想是微积分史的重要东方先声，与喀拉拉学派（Madhava 等）的无穷级数工作共同构成印度分析传统。
- 16世纪波斯译本使其成果进入伊斯兰学术圈，间接影响后世。
八、延伸阅读与权威来源
- MacTutor: Bhaskara II Biography：圣安德鲁斯大学数学史档案，主要传记来源。
- Wikipedia: Bhāskara II：综合生平与贡献，含 chakravala、瞬时速度等技术细节，交叉核对用。
- Wikipedia: Chakravala method：循环法的专门说明。
- MacTutor History Topics: Indian Mathematics：印度数学总论，定位婆什迦罗二世的位置。
- G. G. Joseph, The Crest of the Peacock：非欧洲数学史经典，含婆什迦罗二世的工作。
- K. V. Sarma (ed.), Siddhāntaśiromaṇi of Bhāskarācārya：原著校勘本。