让·勒朗·达朗贝尔（Jean Le Rond d'Alembert）

偏微分方程与数学物理的开路者——第一个把波动方程写进印刷品、把动力学问题化归为静力学平衡的人，同时也是《百科全书》的数学大脑与启蒙运动的首席辩护士。

一、生平与时代背景

让·勒朗·达朗贝尔于 1717 年 11 月 17 日生于巴黎，是个私生子。生母克洛迪娜·盖兰·德·唐森（Claudine Guérin de Tencin，人称 Mme de Tencin）曾为修女，1714 年获教皇特许还俗，在巴黎上层社会以政治与情场手腕闻名，并因及时参与约翰·劳（John Law）的纸币计划而身家丰厚；生父路易-卡米·德图什（Louis-Camus Destouches）是一名炮兵军官。德图什在达朗贝尔出生时不在国内，唐森夫人把刚出生的婴儿遗弃在巴黎圣让勒隆教堂（St Jean Le Rond）的台阶上——孩子被发现后送入弃婴收容所，并以所弃教堂之名为其施洗，取名让·勒朗（Jean Le Rond）。生父回国后寻回幼子，安排由一位玻璃匠的妻子卢梭夫人（Mme Rousseau）抚养。达朗贝尔终身视卢梭夫人为母亲，而其生母至死未曾认他；他一直住在卢梭夫人家中直至中年。生父 1726 年去世，留下一笔钱足以保障他的生活，德图什家族继续资助其教育。

他先入私塾，后由家族安排进入詹森派的四国学院（Collège des Quatre Nations），注册时署名让-巴蒂斯特·达朗贝格（Jean-Baptiste Daremberg），不久改名为让·达朗贝尔（Jean d'Alembert）。学院的数学课由卡龙（Carron）教授讲授，以瓦里尼翁（Varignon）的讲义为底本，图书馆藏书丰富；他也在那里接触到笛卡尔的物理学，但后来对笛卡尔体系评价不高。詹森派学院本意是培养与耶稣会论战的神学学者，达朗贝尔却对神学心生厌恶。1735 年毕业后他一度遵从父命学法律，1738 年取得律师资格，随即发现法律不合己意；1739 年又尝试学医，发现比神学更糟。真正令他狂热的是数学，而他几乎完全靠自学——在准备其他资格考试的余暇中独自钻研，进步惊人。

1739 年 7 月，他向巴黎科学院宣读第一篇论文，指出雷诺（Reyneau）标准教材《分析详解》（Analyse démontrée）中的若干错误，意义虽不大，却是其数学生涯的起点。1740 年他提交流体力学论文，获克莱罗（Clairaut）赞许。经三次申请未果后，1741 年 5 月他终于入选巴黎科学院。

达朗贝尔一生几乎只在巴黎科学院与法兰西学院活动，很少旅行；但性格好斗，几乎与身边所有人争吵过。史家指出："他一旦卷入争论，便顽强地为自己辩护，拒绝考虑自己可能错了。"1743 年他出版《动力学论》（Traité de dynamique），含后来以他命名的原理；因与克莱罗几乎同时提出类似思想，二人结怨。1744 年出版《流体的平衡与运动论》（Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides），与丹尼尔·伯努利的流体处理相竞争。1746 年前后，他被引入若弗兰夫人（Mme Geoffrin）的沙龙，突然成为社交明星；同年开始与狄德罗合编《百科全书》（Encyclopédie），负责数学与物理天文学，实际写作范围更广。

1747 年是其数学创造力的高峰：他以《关于风的一般成因的思考》（Réflexions sur la cause générale des vents）赢得柏林科学院奖，文中率先在物理中使用偏微分方程；同年发表振动弦论文，首次在印刷品中出现波动方程。欧拉立刻看出其方法的威力并将之大大推进，但二人很快交恶——既因 1751 年起围绕塞缪尔·柯尼希（Samuel König）与最小作用量的柏林科学院之争，也因达朗贝尔觉得欧拉"窃取"其想法，而欧拉则抱怨达朗贝尔的工作过于混乱难懂。1752 年达朗贝尔受邀出任柏林科学院院长，被他谢绝；1764 年腓特烈二世再次力邀，他在柏林逗留三个月后再度回绝，并反过来劝腓特烈让欧拉当院长。他还谢绝了叶卡捷琳娜二世请他赴俄做皇储教师的邀请。

1754 年他在《百科全书》第 4 卷"微分"（Différentiel）条目中提出应把极限理论建立在牢固基础上，把导数定义为增量比的极限，并由此得到今称"达朗贝尔比值判别法"的收敛判别法。同年 11 月 28 日当选法兰西学院院士，1772 年当选终身秘书。1765 年一场病后他抱怨自己已无法再专注数学，1777 年致拉格朗日的信中痛惜："几何是唯一真正令我感兴趣的事业，却是我如今已无法从事的事。"晚年转向文学与哲学，五卷《文学与哲学杂集》（Mélanges de littérature et de philosophie，1753—1767）表达了其怀疑主义。1783 年 10 月 29 日因膀胱疾病去世；作为知名的不信者，他被葬于无标记的公共墓穴。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 波动方程与"达朗贝尔解"（1747）

问题背景：18 世纪中叶，小提琴弦的振动是分析与物理的交汇焦点。泰勒（Brook Taylor）、约翰·伯努利已讨论过弦振动，但都把它当作离散质点或用特殊方法处理，缺乏一般的方程与通解。

关键思想：达朗贝尔把弦视为连续介质，设弦上位置 $x$ 处的质点在时刻 $t$ 的横向位移为 $u(x,t)$，对一小段弦应用牛顿第二定律，首次导出一维波动方程：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中 $c$ 为波速。他进而给出通解：

$$u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct),$$

即解是两列分别向左、向右传播的行波之和，$F,G$ 为任意（二次可微）一元函数。对两端固定的弦（长 $l$），他施加边界条件 $u(0,t)=u(l,t)=0$，把解写成 $F$ 与 $G$ 的组合形式。

精确表述：这是历史上第一个被写出并求解的偏微分方程，也是函数方程方法的开端——解不再是单一表达式，而是任意函数。达朗贝尔由此触及了"什么是函数"的根本问题。

与前人关系：他的方法是全新的；欧拉立即接过并推广，允许更一般的初始曲线；丹尼尔·伯努利则主张解应是三角级数。三人就"哪些函数可作为解"展开了长达十余年的争论。

局限性：达朗贝尔坚持解必须处处二次可微（解析），拒绝接受欧拉提出的带角点的初始曲线，这使他的解范围偏窄；其边界条件的简化也导致个别结论与观测不符。

2. 达朗贝尔原理：把动力学化归为静力学（1743）

问题背景：牛顿力学以力与加速度为核心，但对受约束的多体系统（如连杆、刚体），约束力往往未知，直接列方程困难。

关键思想：在《动力学论》中，达朗贝尔提出：一个系统的运动可分解为"施加的运动"与"被约束抵消的运动"两部分；被抵消的部分必须满足约束条件，从而彼此平衡。这就把动力学问题转化为一个静力学的平衡问题。

精确表述（现代形式）：对任一系统，设作用在第 $i$ 个质点上的外力为 $\mathbf{F}_i$，其动量为 $\mathbf{p}_i=m_i\dot{\mathbf{r}}_i$，则对任意满足约束的虚位移 $\delta\mathbf{r}_i$，有

$$\sum_i \left(\mathbf{F}_i-\dot{\mathbf{p}}_i\right)\cdot\delta\mathbf{r}_i=0.$$

即"有效力（外力减惯性力）在任意虚位移上做的虚功之和为零"。这正是分析力学的起点之一。

与前人关系：它推广了虚功原理与伯努利的思想，后来拉格朗日把它与最小作用量原理结合，建立起整个分析力学；拉格朗日在《分析力学》中明确以达朗贝尔原理为基石。

局限性：原理本身正确，但达朗贝尔的形而上学立场（把运动定律当作逻辑必然、而非实验归纳）受到批评；他与克莱罗因几乎同时得到类似结果而激烈争优先权。

3. 以极限为微积分奠基与比值判别法（1754）

问题背景：18 世纪的微积分建立在含糊的"无穷小"概念上，贝克莱（Berkeley）1734 年的《分析学家》猛烈抨击其逻辑基础，称无穷小为"已死量的幽灵"。

关键思想：在《百科全书》第 4 卷"微分"条中，达朗贝尔主张微积分应建立在极限概念之上，而非无穷小。他把导数定义为增量比的极限：$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$（用语言叙述，尚无现代记号）。

精确表述：由极限思想他导出了级数收敛的比值判别法（达朗贝尔判别法）：对级数 $\sum a_n$，若

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L,$$

则 $L<1$ 时级数绝对收敛，$L>1$ 时发散，$L=1$ 时判别法失效。此法载于《数学论丛》第 5 卷。

与前人关系：极限的雏形可追溯到牛顿的"最初比与最终比"，但达朗贝尔是第一个明确主张"微积分应以极限为基础"的人，影响了后来柯西的严格化工作。

局限性：他并未给出极限的形式化 $\varepsilon$-$\delta$ 定义（那要到 19 世纪柯西、魏尔斯特拉斯）；其论述仍偏直观。

4. 流体力学与"达朗贝尔佯谬"（1744—1752）

问题背景：如何用数学计算物体在流体中运动时所受阻力？这对造船与弹道学至关重要。

关键思想：在《流体的平衡与运动论》（1744）及《试论流体阻力的新理论》（Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides，1752）中，达朗贝尔用其原理处理理想（无黏、不可压缩）流体的绕流问题。

精确表述：他从理论上推出：一个物体在无黏不可压缩流体中作匀速运动时，所受合力为零——即没有阻力。这一结论与日常经验（物体在水中运动明显受阻）直接冲突，史称达朗贝尔佯谬（d'Alembert's paradox）。达朗贝尔本人也承认这是一个"奇特的悖论"。

与前人关系：他的流体处理是对丹尼尔·伯努利《流体动力学》（1738）的竞争与替代。佯谬的真正解决要到 20 世纪：普朗特（Ludwig Prandtl）1904 年提出边界层理论，指出阻力源于流体黏性在物体表面薄层中的作用，理想流体模型正是因为忽略了黏性才得出零阻力。

局限性：达朗贝尔把理想流体的数学结果当成物理现实，未能认识到黏性是阻力的关键来源；这是其"数学优美但物理依据薄弱"的典型例证。

5. 偏微分方程在物理中的首创应用（1747）

问题背景：风的成因是当时地球物理的难题。

关键思想：在获奖论文《关于风的一般成因的思考》中，达朗贝尔把大气视为连续介质，用偏微分方程描述其运动，从而把偏微分方程方法引入物理学。

精确表述：他建立了关于大气速度场的偏微分方程并讨论其解，是偏微分方程在物理学中应用的开山之作。

与前人关系：欧拉读到达朗贝尔的工作后，迅速把这一方法发展为完整的流体力学方程组。

局限性：他假设风主要由潮汐对大气的作用产生，而把大气受热放在极次要位置——这一物理假设是错误的，导致其气象结论偏离实际，克莱罗因此讥讽他"为了省却实验而采用自然界中根本不存在的假设"。

6. 《百科全书》与《绪论》：知识的系谱（1751）

问题背景：启蒙运动试图把人类全部知识系统化、去神秘化。

关键思想：作为《百科全书》（28 卷，1751—1772）的副主编，达朗贝尔撰写了第 1 卷卷首《绪论》（Discours préliminaire），提出一套以培根为源头、按人类心智能力（记忆/理性/想象）对知识分类的系谱，并撰写了大部分数学条目。

精确表述：《绪论》论证知识源于感觉经验、经由理性系统化，强调数学与自然科学的方法论典范地位；它是启蒙运动的纲领性文件之一，布封赞其为"人类知识的精华"。

与前人关系：继承培根的知识分类，影响了此后几代法国哲人（philosophes）；其数学条目成为传播新分析的重要渠道。

局限性：作为一部集体工程，《百科全书》在政治与宗教上面临巨大压力，1759 年一度被查禁，达朗贝尔于 1758 年前后退出编辑，仅继续撰写数学文章。

四、代表著作与文献

• 《动力学论》（Traité de dynamique，1743）：含达朗贝尔原理，试图把力学建成纯理性的数学体系。
• 《流体的平衡与运动论》（Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides，1744）：流体力学专著，与伯努利体系相竞争。
• 《关于风的一般成因的思考》（Réflexions sur la cause générale des vents，1747）：获柏林科学院奖，物理中首用偏微分方程。
• 《试论流体阻力的新理论》（Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides，1752）：含"达朗贝尔佯谬"。
• 《百科全书》（Encyclopédie, ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers，与狄德罗合编，28 卷，1751—1772）：任副主编，撰写卷首《绪论》及大部分数学条目。
• 《数学论丛》（Opuscules mathématiques，8 卷，1761—1780）：历年数学论文的合集，含比值判别法等。
• 《文学与哲学杂集》（Mélanges de littérature et de philosophie，5 卷，1753—1767）：哲学与文学作品集。

五、师承、学派与同时代交往

• 师承：无严格意义上的数学导师。在四国学院受卡龙教授影响、以瓦里尼翁讲义入门，但主要靠自学；其思想深受牛顿与笛卡尔体系的双重滋养（而最终二者皆有批判）。
• 学派归属：法国启蒙哲人（philosophes）的核心成员，分析力学与数学物理的法国传统奠基人之一；不属于大陆理性主义或经验主义的严格分野，立场偏怀疑论。
• 同时代交往：
• 丹尼斯·狄德罗：《百科全书》合编者，密友；受其影响晚年转向唯物论（约 1770 年后，学界据其友朋书信推断）。
• 莱昂哈德·欧拉：起初互敬、通信频繁，1750 年代因振动弦解与柏林柯尼希事件交恶，欧拉怀疑他想抢自己的院长位置；但欧拉仍承认其方法的原创性。
• 亚历克西·克莱罗：主要对手，在动力学与流体力学上激烈争优先权，在期刊上互相攻讦。
• 丹尼尔·伯努利：在流体理论与振动弦上观点对立。
• 腓特烈二世：两度邀其任柏林科学院院长，皆被婉拒。
• 叶卡捷琳娜二世：邀其赴俄做皇储教师，亦被拒。
• 若弗兰夫人：其沙龙让他进入巴黎知识精英圈。
• 拉格朗日：晚辈；达朗贝尔竭力举荐他赴柏林接任欧拉，并在拉格朗日患病在巴黎时为其奔走呼号。

六、争议、公案与历史评价

• 与克莱罗的优先权之争：二人几乎同时在动力学上得到类似思想，达朗贝尔抢先付梓，克莱罗深感被抢，此后持续敌对。
• 振动弦大论战：达朗贝尔（要求解处处二次可微）、欧拉（允许带角点的初始曲线）、丹尼尔·伯努利（主张三角级数解）三方就"什么是合法的函数/解"争论十余年，本质是函数概念的一次阵痛；它直接推动了傅里叶级数与广义函数思想的孕育。
• 柯尼希事件：1751 年柯尼希质疑莫佩尔蒂"最小作用量原理"的优先权，引发柏林科学院内斗，欧拉站莫佩尔蒂，达朗贝尔同情柯尼希，导致他与欧拉关系破裂。
• "窃取想法"的互相指责：达朗贝尔认为欧拉不给他应有的署名，欧拉则抱怨其论文混乱无法读懂、只能从头重做。
• 达朗贝尔佯谬：其理想流体零阻力结论长期困扰流体力学，直到 20 世纪边界层理论才解决。
• 葬于无标记墓穴：因公开的不信者身份，死后未得教会葬礼，葬于公共墓穴——这也反映了启蒙哲人与教会的紧张关系。
• 历史评价：数学上，他是偏微分方程与数学物理的开创者，其极限思想是分析严格化的先声；但他同时代的光芒常被欧拉盖过——欧拉总能把他的想法做得更清晰、更深入。思想文化上，他是启蒙运动的标志性人物，《绪论》是 18 世纪最重要的知识宣言之一。特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）等力学史家认为他在理性力学上的地位被低估。

七、身后影响与学术谱系

• 对偏微分方程：波动方程及其通解开 PDE 之先河，直接催生了欧拉、拉格朗日、傅里叶在数学物理方程上的整个传统；热方程、拉普拉斯方程的研究都以此为参照。
• 对分析力学：达朗贝尔原理被拉格朗日采纳为《分析力学》的基石，后经哈密顿、雅可比发展，成为经典力学与量子力学的标准语言；有限元方法中虚功原理的现代形式也溯源于此。
• 对分析基础：其"以极限奠基"的主张经柯西（1821《分析教程》）、魏尔斯特拉斯（$\varepsilon$-$\delta$）实现，是分析严格化的思想源头之一。
• 对流体力学到边界层理论：达朗贝尔佯谬的悬而未决，推动了黏性流体力学（纳维—斯托克斯方程）与普朗特边界层理论的发展。
• 对启蒙文化：《百科全书》与《绪论》塑造了"知识分类"与"理性批判"的现代形象，影响了孔德的实证主义与现代学科建制。
• 命名遗存：达朗贝尔原理、达朗贝尔解（波动方程）、达朗贝尔判别法、达朗贝尔佯谬、达朗贝尔算符（$\square=\partial_t^2-c^2\nabla^2$，四维波动算符）等均以他命名。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor 数学史档案：Jean d'Alembert：圣安德鲁斯大学权威传记，本档案主要史实出处。
• Dictionary of Scientific Biography — d'Alembert (PDF, MacTutor 托管)：科学史权威传记条目。
• Wikipedia: Jean le Rond d'Alembert：生平与著作交叉核对。
• Wikipedia: d'Alembert's principle：原理的精确陈述与现代形式。
• Wikipedia: d'Alembert's formula：波动方程通解。
• Wikipedia: d'Alembert's paradox：流体零阻力佯谬及其解决。
• Wikipedia: Ratio test：比值判别法，又称达朗贝尔判别法。
• Britannica: Jean Le Rond d'Alembert：百科条目交叉核对。