亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）

胡格诺派难民出身的概率论巨匠——他用一条公式把复数与三角学熔为一体，用正态曲线逼近二项分布开启了中心极限定理的源头，著《机会学说》奠定近代概率论与精算数学，却一生求一大学教职而不得，在伦敦的咖啡馆里靠家教终老，贫困而死。

一、生平与时代背景

亚伯拉罕·棣莫弗于 1667 年 5 月 26 日出生于法国香槟地区的维特里-勒-弗朗索瓦（Vitry-le-François，巴黎与南锡之间），父亲是一名外科医生。家境不富裕但有稳定收入，非赤贫。父母是新教徒（胡格诺派），但他最初就读于维特里的天主教「基督兄弟会」学校——在当时法国宗教紧张的气氛下，该校难得地宽容。11 岁时父母送他到色当（Sedan）的新教书院，师从 Du Rondel 学希腊语四年。

1598 年的《南特敕令》虽保障了法国新教的信仰自由，却长期遭天主教会与地方议会敌视；色当新教书院于 1682 年被关闭，棣莫弗被迫转往索米尔（Saumur）学习逻辑，直到 1684 年。他在课外自学数学，尤其研读了惠更斯的论赌博专著 De ratiociniis in ludo aleae（《论赌博中的计算》）。此时父母已迁居巴黎，他也随之进入巴黎的阿库尔学院（Collège de Harcourt）修习物理，并首次接受正式数学训练——从奥扎南（Ozanam）私下受教。

1685 年路易十四废除《南特敕令》，对新教徒的迫害骤起，大批胡格诺派被驱逐。棣莫弗因信仰被关押于圣马丁修道院（priory of St Martin）。他被关押多久，史料说法不一：天主教背景的传记作者称他不久后即移居英国；新教背景的传记作者（及《英国名人传记词典》DNB）则称他一直被关押到 1688 年 4 月 27 日才获释赴英。两种记载并存，学界存疑。

抵英后，他以私人数学教师为业，上门授课，并在伦敦的咖啡馆里讲学。一次他携推荐信拜访德文郡伯爵，被出示牛顿的《自然哲学的数学原理》（Principia），他立刻意识到此书远比自己读过的任何著作深邃，于是买来一册、把书页裁开随身携带，在奔走于学生之间的间隙逐页研读，竟很快掌握了这部艰深巨著——这充分显示了他的才华。他渴望获得数学讲席，但在英国外国人处于劣势：虽摆脱了宗教歧视，仍因法国身份而受排挤。

约 1692 年他结识了时任皇家学会助理秘书的哈雷，不久又结识牛顿并成为挚友。他的第一篇数学论文源于对《原理》中流数术的研究，1695 年 3 月由哈雷提交皇家学会；1697 年当选皇家学会会员。1710 年他被指派加入皇家学会审查牛顿与莱布尼茨微积分优先权的委员会——这一任命缘于他与牛顿的私交，皇家学会「早已知道自己想要的答案」。值得玩味的是：他被赋予如此重要的评判席位，却始终无法谋得一个大学教职。

尽管科学地位崇高，他的主要收入仍是私人家教，晚年死于贫困。他曾 desperate 地恳请约翰·伯努利说服莱布尼茨为他写推荐信以角逐剑桥讲席（1710 年）；莱布尼茨 1673 年访英时见过他，也曾为他在德国谋求教授职位，未果。连牛顿、哈雷这样有影响力的朋友也未能帮他谋得大学职位。牛顿每晚从咖啡馆（很可能是 Slaughter's）把他接回宅中长谈哲学；他校订了牛顿《光学》的拉丁文译本，并把《机会学说》题献给牛顿。牛顿则回敬道：「去问棣莫弗先生吧，这些事他比我更懂。」

据 DNB 的 Clerke 记述：他终身未婚，晚年在宁静的研读中度过；文学是他的消遣，他曾说「宁愿做莫里哀，也不做牛顿」，对莫里哀与拉伯雷的作品几乎倒背如流；他一生是坚定的基督徒；在视力与听力相继衰退后，1754 年 6 月 27 日当选巴黎科学院外籍院士仍令他欣喜若狂。

他最著名的轶事是预言自己的死期：他发现自己每晚睡眠比前一夜长 15 分钟，把这个等差数列求和，算出当睡眠累计到 24 小时那天自己便会死去——结果丝毫不差，他于 1754 年 11 月 27 日在伦敦去世。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 棣莫弗公式——复数与三角学的统一

问题背景：18 世纪初，复数与三角学是两个看似无关的领域；如何用复数统一表示三角恒等式与求解方程？

关键思想：棣莫弗在 1722 年的论文中明确给出公式，把复数的乘方化为三角的倍角。相关形式已见于其 1707 年的论文。这个公式是欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 的先驱，把复数引入了三角学与分析。

精确表述：对任意整数 $n$（后推广到实数、复数）， $$(\cos x + i\sin x)^n = \cos nx + i\sin nx.$$ 取 $n=-1$ 可得 $(\cos x+i\sin x)^{-1}=\cos x-i\sin x$，结合两式可解出 $$\cos nx=\frac{(\cos x+i\sin x)^n+(\cos x-i\sin x)^n}{2},\quad \sin nx=\frac{(\cos x+i\sin x)^n-(\cos x-i\sin x)^n}{2i},$$ 即倍角公式的统一来源。

与前人关系：复数的三角表示由沃利斯等逐步发展；棣莫弗第一个明确陈述此公式，是欧拉 1748 年给出 $e^{ix}$ 公式之前的关键一步。

局限性：他当时用的是几何/三角语言，未引入指数形式；严格的复数理论到高斯、柯西才建立。但此公式至今是高中与大学数学的基石。

2. 二项分布的正态逼近——中心极限定理的源头

问题背景：雅各布·伯努利的大数定律只保证频率收敛于概率，却未给出频率偏离概率的分布形状。当试验次数很大时，二项分布 $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ 的概率如何计算、呈现什么形态？

关键思想：1733 年 11 月 13 日，棣莫弗在一份拉丁文小册子中（后收入 1756 年版《机会学说》）改进了伯努利的大数定律：对公平赌博（$p=1/2$）的二项分布，当 $n$ 很大时，其概率质量函数可用一条钟形曲线（正态曲线）逼近。这是历史上首次出现正态概率积分，他甚至似乎察觉了后来所谓「标准差」的参数（但未命名）。

精确表述（现代形式，棣莫弗—拉普拉斯定理）：设 $X_n\sim B(n,p)$，则当 $n\to\infty$， $$P\left(a\le \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le b\right)\to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-x^2/2}\,dx.$$ 棣莫弗处理了对称情形 $p=1/2$ 并给出曲线的指数形式；拉普拉斯后来推广到任意 $p$，故今称「棣莫弗—拉普拉斯定理」，是中心极限定理（CLT）的最早特例。

与前人关系：直接回应并改进雅各布·伯努利《猜度术》的大数定律；是高斯误差分布与中心极限定理的共同源头。

局限性：只处理了 $p=1/2$ 的对称情形；未把结果提升为一般定理；正态分布作为独立概念要到高斯（1809）研究测量误差时才系统确立，故「高斯分布」之名盖过了棣莫弗的首创。

3. 「斯特林公式」的主体发现与常数归属

问题背景：当 $n$ 很大时，如何近似计算阶乘 $n!$？这对二项分布概率的逼近至关重要。

关键思想：在 1730 年的《分析杂集》中，棣莫弗得到了阶乘的渐近公式主体：$n!\sim C\, n^{n+1/2} e^{-n}$，但未能确定常数 $C$。他的朋友詹姆斯·斯特林（James Stirling）继续研究，确定了 $C=\sqrt{2\pi}$。棣莫弗在 1738 年《机会学说》第二版中主动把这一改进归功于斯特林：「我止步不前，直到我可敬博学的朋友斯特林先生接手这一研究，[发现了 $C=\sqrt{2\pi}$]。」

精确表述：今称斯特林公式 $$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n,$$ 更精确地 $n!=\sqrt{2\pi n}(n/e)^n(1+O(1/n))$。

与前人关系：公式主体由棣莫弗先得，常数由斯特林补全；棣莫弗本人谦让地把完整结果让名为斯特林，因此通称「斯特林公式」。

局限性：棣莫弗未给出完整常数，严格的渐近展开（含后续修正项）由后来者完善。这是数学史上罕见的「发现者主动让名」案例。

4. 《机会学说》——近代概率论的奠基教科书

问题背景：帕斯卡、费马、惠更斯建立了概率论的基本组合工具，蒙福尔（Montmort）1708 年出版《赌博分析随笔》，但尚无一部系统、清晰、面向广泛读者的概率论专著。

关键思想：在后来成为拉德诺伯爵的弗朗西斯·罗巴茨（Francis Robartes）建议下，棣莫弗撰写了一部比蒙福尔更全面的概率论著作。1711 年先以拉丁文发表于《哲学汇刊》，1718 年出英文第一版《机会学说》，后经 1738、1756 年两次大幅扩充。

精确表述/内容：书中包含： - 统计独立性的明确定义（两事件独立则同时发生概率为各自概率之积）； - 大量骰子与牌戏的概率计算； - 错排问题（jeu de rencontre，1738 版问题 XXXIV/XXXV）：$n$ 个不同字母随机排列，求恰有若干个在原位置的概率（推广到可重复字母）； - 赌徒破产问题（1756 版问题 LXV）； - 1756 版收入正态逼近结果（见成果 2）。

与前人关系：在惠更斯、蒙福尔基础上系统扩展；与蒙福尔就原创性有过争论，最终友好和解（与牛顿—莱布尼茨之争的激烈形成对比）。

局限性：仍以赌博问题为主要载体，未抽象出现代测度论框架；但其清晰与系统使它成为拉普拉斯之前最重要的概率论著作。Todhunter 在《概率论数学史》（1865）中写道：概率论「除拉普拉斯外，受棣莫弗之惠超过任何其他数学家」。

5. 人寿年金与精算数学的奠基

问题背景：如何依据死亡率数据科学计算人寿年金的保费？这是保险与金融的核心问题。

关键思想：哈雷 1693 年发表了基于布雷斯劳（Breslau）五年数据的死亡率表，是最早把死亡率与年龄关联的工作之一。棣莫弗与哈雷的友谊使他关注年金问题，1724 年出版《人寿年金》（Annuities on lives），后出多版（1743、1750、1752、1756）。

精确表述：他基于哈雷的数据，假设了一条简化的死亡率法则（De Moivre's law of mortality：在一定年龄段内死亡人数近似均匀递减），结合恒定利率，推导出单人年金、联合年金（joint annuities）、年金继承、唐提式联合养老金（tontine） 的公平分摊等公式。

与前人关系：基于哈雷死亡率表，把精算从经验估计提升为公式计算。

局限性：他的死亡率假设是简化近似，与真实生命表有偏差；但为 18—19 世纪人寿保险业提供了最早的数学工具，是精算科学的奠基之作。

四、代表著作与文献

• 《机会学说》（The Doctrine of Chances: A method of calculating the probability of events in play，1718 初版，1738、1756 扩充再版）：近代概率论奠基著作，含正态逼近、统计独立性、赌徒破产等。
• 《人寿年金》（Annuities on lives，1724，多版至 1756）：精算数学奠基之作，基于哈雷死亡率表。
• 《分析杂集》（Miscellanea Analytica de seriebus et quadraturis，1730）：含阶乘渐近公式（斯特林公式主体）。
• 1733 年 11 月拉丁文小册子：首次发表二项分布的正态逼近，后收入《机会学说》第三版。
• 1722 年论文：明确形式的棣莫弗公式。
• 与牛顿、哈雷、莱布尼茨、斯特林、蒙福尔、泰勒等的通信：研究其成果与优先权问题的一手资料。

五、师承、学派与同时代交往

• 师承：数学上从奥扎南（Ozanam）在巴黎受私下授课；广泛自学惠更斯、牛顿、笛卡尔等。
• 学派归属：英国牛顿学派的重要成员，同时与欧陆分析传统（莱布尼茨、伯努利）保持联系的桥梁人物。
• 同时代交往：
• 艾萨克·牛顿：挚友；牛顿每晚接他长谈，他校订《光学》拉丁文译本，牛顿称其「比我更懂这些事」。他把《机会学说》献给牛顿。
• 埃德蒙·哈雷：引路人、挚友；棣莫弗的年金研究基于哈雷死亡率表。
• 戈特弗里德·莱布尼茨：1673 年访英时曾见棣莫弗，为他在德国谋教职（未果）；棣莫弗曾请约翰·伯努利转请莱布尼茨写推荐信。
• 詹姆斯·斯特林：阶乘公式常数的合作者；棣莫弗主动把常数发现归功于他。
• 皮埃尔·雷蒙·德·蒙福尔：概率论同代人；就原创性有过争论，后友好和解。
• 布鲁克·泰勒：就无穷级数与概率问题有通信，有时与蒙福尔形成三方讨论。
• 约翰·伯努利：为其剑桥求职求助的对象。

六、争议、公案与历史评价

• 被关押时长：天主教传记作者称废除《南特敕令》后不久即赴英；新教作者与 DNB 称被关押至 1688 年 4 月 27 日。两说并存，学界存疑。
• 「斯特林公式」的署名：棣莫弗先得到阶乘渐近公式主体，斯特林补全常数 $\sqrt{2\pi}$，棣莫弗本人在 1738 年版中主动让名，故通称斯特林公式。这是罕见的谦让案例，非真正争议，但反映署名未必忠实于发现时序。
• 牛顿—莱布尼茨审查委员会的偏见：1710 年他因与牛顿的私交而被选入审查委员会，委员会的结论「不出所料地」偏袒牛顿；棣莫弗在此过程中的独立性因此受质疑，尽管这更多是皇家学会整体的偏见。
• 与蒙福尔的原创性之争：《机会学说》因蒙福尔 1708 年著作的刺激而写，二人就若干问题的优先权有过争论，但最终友好解决——与牛顿—莱布尼茨之争的激烈形成鲜明对比。
• 求职无门：一流数学家却因外国（法国）身份在英国终身不得大学教职，反映了当时英国学界对外国人的制度性排斥；他死于贫困。
• 预言死期的轶事：睡眠递增等差数列算死期的故事（载于 DNB 等）脍炙人口，但细节（恰好睡满 24 小时那天去世）或有后世渲染成分，轶事色彩，不必尽信其精确性。
• 历史评价：Todhunter 称概率论除拉普拉斯外受他之惠最多；他是正态分布与中心极限定理、复数三角统一、精算数学三个方向的先驱，却因贫困与不发表大部头系统著作（除《机会学说》外）而名声不及牛顿、欧拉。

七、身后影响与学术谱系

• 概率论与数理统计：正态逼近经拉普拉斯发展为一般中心极限定理；正态（高斯）分布成为统计学的核心，棣莫弗是其发现者；《机会学说》经拉普拉斯《概率的分析理论》（1812）发扬光大。
• 复分析与三角学：棣莫弗公式是欧拉公式的先导，是中学到大学数学的基本工具；为复数的几何表示与复变函数论铺路。
• 渐近分析：阶乘渐近公式（斯特林公式）是组合数学、统计力学、数值计算的基础。
• 精算与保险：《人寿年金》奠定了人寿保险与养老金的数学基础，其死亡率—利率建模框架沿用至今。
• 英国分析传统：作为牛顿学派与欧陆分析之间的桥梁，影响了辛普森（Simpson）、贝叶斯等英国概率传统。
• 文化符号：棣莫弗公式、棣莫弗—拉普拉斯定理、斯特林公式（主体）以其名或相关名传世；他「裁书携读《原理》」与「预言死期」成为数学史经典轶事。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor 数学史档案：Abraham de Moivre：圣安德鲁斯大学权威传记，本档案主要史实出处。
• Dictionary of Scientific Biography — de Moivre (PDF, MacTutor 托管)：科学史权威传记条目（Hacking 撰）。
• Dictionary of National Biography — de Moivre (MacTutor 托管, Clerke 撰)：含预言死期、性格等记述。
• Wikipedia: Abraham de Moivre：交叉核对生平与成果。
• Wikipedia: De Moivre's formula：棣莫弗公式的内容与历史。
• Wikipedia: De Moivre–Laplace theorem：正态逼近二项分布的历史与证明。
• Wikipedia: The Doctrine of Chances：著作的版本与内容。
• Britannica: Abraham de Moivre：百科条目交叉核对。
• Stephen M. Stigler, The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900 (Harvard, 1986)：含棣莫弗正态逼近的统计学史解读。
• I. Schneider, Der Mathematiker Abraham de Moivre (Arch. Hist. Exact Sci., 1968)：标准学术传记（德文）。