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莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）

「分析学的化身」与「所有人的老师」——他在双目几近失明、孩子绕膝的情况下仍保持数学史上最惊人的产出，把微积分从牛顿与莱布尼茨的零散发明锻造成一套统一的语言；他写下的符号（$f(x), e, i, \pi, \Sigma$）成为后世每个数学家的母语，他在七桥与多面体公式中不经意间撒下的种子，分别长成了图论与拓扑学。

一、生平与时代背景

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）于 1707 年 4 月 15 日出生在瑞士巴塞尔。父亲 保罗·欧拉（Paul Euler，1670—1745） 是新教牧师，曾在巴塞尔大学听 雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli） 的数学课，并与 约翰·伯努利（Johann Bernoulli） 同窗；母亲 玛格丽特·布鲁克（Margaretha Brucker） 亦出身牧师家庭。欧拉一岁时全家迁居巴塞尔近郊的 里恩（Riehen），父亲在此担任牧师终生。他在家中由父亲启蒙初等数学，约 8 岁入巴塞尔的拉丁学校，寄住在外祖母家；学校质量平庸，他几乎没在学校学到数学，靠自读数学书和家庭教师（年轻神学家 约翰内斯·布克哈特）补课。

1720 年，13 岁的欧拉入 巴塞尔大学哲学院，修约翰·伯努利的初等数学课。伯努利很快发现他的天赋，拒绝给他私人授课，却给了他更宝贵的安排：让他自行研读更难的书，每周六下午可自由登门请教——这些会面史称 privatissima。欧拉在 1723 年取得哲学硕士学位，答辩比较笛卡尔与牛顿的自然哲学；同年秋遵父愿入神学院，但把主要精力放在数学上，后由约翰·伯努利出面劝说，父亲才同意他转攻数学。1726 年他完成学业，已发表一篇关于阻力媒质中等时曲线的论文。

1727 年，欧拉以「船上桅杆最优布置」一文应征巴黎科学院大奖，获二等奖（头奖归造船数学专家布格 Bouguer）；同年他本竞争巴塞尔大学物理学教职未果，遂接受 圣彼得堡科学院（由彼得大帝创立、叶卡捷琳娜一世续办）的邀约，经 丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli） 与 雅各布·赫尔曼（Jakob Hermann） 推荐，从原定的「数学在生理学中的应用」教职改入数理部。1727 年 4 月 5 日他离开巴塞尔，乘船顺莱茵河、经德意志驿车、再从吕贝克乘船，于 5 月 17 日抵达圣彼得堡。

在圣彼得堡的第一个时期（1727—1741），他的创造力爆发：1730 年任科学院物理学教授，1733 年丹尼尔·伯努利回巴塞尔后他接任数学首席。1734 年 1 月 7 日与科学院瑞士画师之女 卡塔琳娜·格塞尔（Katharina Gsell，1707—1773） 结婚，共育 13 个子女，仅 5 人活过婴儿期。1735 年一场重病几近丧命；此后右眼视力急剧下降，到 1738 年基本失明（其本人归因于制图工作过度用眼，Calinger 等现代学者认为更早的眼疲劳与 1735 年的发热是同一病因）。

俄国政局动荡（安娜女皇去世后的摄政）促使他接受 腓特烈大帝 之邀赴柏林，1741 年 6 月 19 日离俄、7 月 25 日抵柏林。在柏林 25 年间（1741—1766），他任新成立的 柏林科学院数学部主任（1746 年），在 莫佩尔蒂（Maupertuis） 之下，后又在其 1759 年去世后实际主持院务；写下约 380 篇论文与十部专著，涵盖变分法、分析、天体轨道、弹道、造船、月球运动等。但他与腓特烈二世性格与理念不合（腓特烈青睐法国启蒙、欧拉是虔敬的新教徒），且始终未获院长之位——1763 年腓特烈甚至向 达朗贝尔 示好欲聘其为院长，达朗贝尔辞谢并推荐欧拉，国王仍宣布自己亲任院长。1766 年欧拉应 叶卡捷琳娜二世 之邀重返圣彼得堡。

回到俄国后不久（1766 年）一场病使他几乎完全失明；1771 年家中失火，他只来得及救出自己与数学手稿；同年白内障手术一度恢复视力数日，但因未遵医嘱再度全盲。凭借惊人记忆力，他在儿子 约翰·阿尔布雷希特·欧拉（Johann Albrecht Euler）、助手 N. I. 富斯（Nicolaus Fuss，后成为其孙女婿）、克拉夫特（W. L. Krafft） 与 莱克塞尔（A. J. Lexell） 的协助下继续写作，59 岁回圣彼得堡后产出了他全部著作的近一半。

1783 年 9 月 18 日，欧拉白天照常给孙子上课、在黑板上计算气球运动，并与莱克塞尔、富斯讨论新近发现的行星 天王星（1781 年由赫歇耳发现）；下午约 5 时突发脑溢血，只说出一句"我要死了"（I am dying）便失去意识，当晚约 11 时去世，享年 76 岁。圣彼得堡科学院此后继续刊印其遗稿近 50 年。

二、学术生涯年表

年份 事件
1707 4 月 15 日生于巴塞尔；父为新教牧师，母出身牧师家庭
1708 全家迁居巴塞尔近郊里恩（Riehen），父亲任当地牧师终生
约 1715 入巴塞尔拉丁学校，寄住外祖母家；学校不教数学，靠父亲与家庭教师布克哈特启蒙
1720 13 岁入巴塞尔大学哲学院，受教于约翰·伯努利，开启每周六 privatissima 答疑
1723 获哲学硕士学位，答辩比较笛卡尔与牛顿；秋入神学院，但主力攻数学
1726 完成巴塞尔大学学业；发表首篇论文（阻力媒质中等时曲线）
1727 巴黎科学院大奖获二等奖（桅杆布置）；4 月 5 日离巴塞尔，5 月 17 日抵圣彼得堡；任俄国海军医官（1727—1730）
1729 与哥德巴赫通信中引入伽玛函数（阶乘的插值）
1730 任圣彼得堡科学院物理学教授，成为正式院士，辞去海军职务
1733 丹尼尔·伯努利回巴塞尔，欧拉接任数学首席；经济改善使其得以结婚
1734 1 月 7 日与卡塔琳娜·格塞尔结婚（共育 13 子，5 人存活）；引入函数记号 $f(x)$；发现欧拉常数 $\gamma$
1735 解决巴塞尔问题，得 $\zeta(2)=\pi^2/6$；一场重病几近丧命
1736 出版《力学》两卷；发表费马小定理的首个证明（E54）；提交哥尼斯堡七桥论文（图论之始）
1737 证明欧拉乘积公式与级数 $\sum 1/p$ 发散
1738 与他人分享巴黎科学院大奖；右眼基本失明
1739 出版《新音乐理论试作》（音乐的对数理论）
1740 再次分享巴黎科学院大奖
1741 6 月 19 日离圣彼得堡，7 月 25 日抵柏林，应腓特烈大帝之邀
1744 出版《求具有某种极大或极小性质曲线的方法》（变分法奠基，含欧拉—拉格朗日方程）；柏林科学院成立，任数学部主任
1748 出版《无穷小分析引论》两卷；给出欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
1750 在致哥德巴赫的信中宣布多面体公式 $V-E+F=2$
1752 发表多面体公式的证明（$V-E+F=2$，拓扑学之始）
1755 出版《微分学原理》；引入求和号 $\Sigma$ 与有限差分记号 $\Delta y$
1757 建立理想流体的偏微分方程组（欧拉方程）
1765 出版《刚体运动理论》，引入欧拉角与刚体运动的欧拉方程
1766 应叶卡捷琳娜二世之邀重返圣彼得堡；不久因眼病几乎完全失明
1768—1770 出版《积分学原理》三卷
1768—1772 出版《致一位德国公主的信》三卷（科普经典）
1770 出版《完整代数学指南》（含欧拉对四次方程与数论的系统论述）
1771 家中失火，仅救出自身与手稿；白内障手术后短暂复明，随后完全失明
1772 出版《月球运动理论》（775 页，在助手协助下完成）
1776 富斯正式成为其助手，7 年间帮他整理发表逾 250 篇文章
1777 引入记号 $i$ 表示虚数单位 $\sqrt{-1}$
1783 9 月 18 日下午讨论天王星时突发脑溢血，当晚约 11 时在圣彼得堡去世
1783 后 圣彼得堡科学院继续刊印其遗稿近 50 年；《欧拉全集》（Opera Omnia）20 世纪起陆续出版，已出 80 余卷

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 巴塞尔问题与 ζ 函数的诞生

问题背景：求平方倒数之和 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 的精确值，自门戈里（P. Mengoli，1644 年提出）以来难倒了沃利斯、雅各布·伯努利等大家。关键思想：欧拉把 $\sin x$ 类比为一个"无穷次多项式"，将其写成零点乘积 $\sin x = x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$，再与泰勒展开 $\sin x = x - x^3/6+\cdots$ 比较系数。精确结果：1735 年得到

$$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\approx1.644934\ldots$$

并进一步推出偶整数处的一般公式 $\zeta(2k)=(-1)^{k+1}\frac{B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}$（含伯努利数）。与前人关系：这是对雅各布·伯努利公开挑战的回应；局限性：最初的"无穷多项式"论证缺乏严密的收敛与因式分解证明，欧拉后来又给出多种更严谨的证明。这一结果使 28 岁的欧拉一举成名，也开启了对 $\zeta(s)$ 长达两个世纪的研究（直至黎曼 1859 年的论文）。

2. 数论：费马小定理的证明与欧拉定理的推广

费马 1640 年提出小定理：若 $p$ 为素数且 $p\nmid a$，则 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$，但未给证明。1736 年欧拉在论文 E54《关于素数某些定理的证明》（Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio）中发表了首个公开发表的证明（莱布尼茨 1683 年有未刊手稿证明）。1760 年他把它推广到任意模：定义欧拉函数 $\varphi(n)$ 为不超过 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数个数，则当 $\gcd(a,n)=1$ 时

$$a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n.$$

意义：这是模算术的基本定理，是现代公钥密码（RSA）的数学基石。欧拉还研究了二次互反律的特例（计算 $-1, \pm2, \pm3$ 的勒让德符号），为后来高斯的完整证明与二次型理论铺路；他提出了欧拉判别准则刻画二次剩余，并证明 $n=3$ 情形的费马大定理（用的是无穷递降法），这是 $n=3$ 的首个发表证明之一（存疑：通常认为欧拉的 $n=3$ 证明略有疏漏，后由高斯等补全，学界对其严密性有评价差异）。

3. 一次数学符号革命：$f(x), e, i, \pi, \Sigma, \sin, \cos$

欧拉最持久的贡献之一是记号的统一与标准化，现代数学的常用符号大半出自他： - $f(x)$ 表示函数（1734 年）； - $e$ 表示自然对数的底（1727 年一份手稿中开始使用，1748 年《引论》系统确立）； - $\pi$ 表示圆周率（他并非首创，但通过《引论》使之通行，此前常用 $c$ 或 $p$）； - $i$ 表示虚数单位 $\sqrt{-1}$（1777 年，在一篇未刊手稿中，后由后人发表）； - $\Sigma$ 表示求和（1755 年《微分学原理》），$\Delta y$ 表示有限差分； - 把 $\sin, \cos$ 等当作函数而非弦长来处理（此前自托勒密以来三角量被视为几何弦），并引入 $\tan, \cot, \sec, \csc$ 的现代记号。

这些记号不是孤立的约定，而是支撑了他把分析当作函数的一般理论来重建的纲领——这是从"微积分计算技巧"向"分析学"过渡的关键。

4. 欧拉公式与欧拉恒等式

在 1748 年《无穷小分析引论》中，欧拉利用指数与三角函数的泰勒级数建立

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,$$

并由此得到令 $\theta=\pi$ 时的特例 $e^{i\pi}+1=0$，后世称为欧拉恒等式，常被誉为"最优美的数学公式"（汇聚了 $0,1,e,i,\pi$ 五个基本常数与加法、乘法、幂三种基本运算）。与前人关系：棣莫弗（de Moivre）1707 年已得到等价的 $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$（棣莫弗公式），但欧拉首次明确写出指数—三角关系，把复数、指数函数与三角函数统一在一个等式里；局限：他当时用的是 $\sqrt{-1}$，记号 $i$ 到 1777 年才引入。这一公式是复分析、傅里叶分析与电路理论的起点。

5. 变分法与欧拉—拉格朗日方程

1744 年《求具有某种极大或极小性质曲线的方法》（Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes）系统建立了变分法。对泛函 $J[y]=\int_a^b F(x,y,y')\,dx$ 的极值，欧拉导出必要条件

$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0,$$

即欧拉方程；后来拉格朗日用变分 $\delta y$ 给出更简洁的推导（1755 年 19 岁的拉格朗日写信给欧拉，欧拉大为赞赏并让出优先权），遂称欧拉—拉格朗日方程。意义：变分法由此成为独立学科，是经典力学（最小作用量原理）、几何测地线、最优控制的基础。欧拉还在此书中提出极小曲面问题与等周问题的一般处理。

6. 《无穷小分析引论》：把分析建成函数的科学

1748 年出版的《无穷小分析引论》（Introductio in analysin infinitorum，两卷）是欧拉最有影响力的著作之一，常被视为现代分析的奠基之作。它首次把函数置于分析的中心：定义函数为"变量以任何方式与常数和变量构成的解析表达式"，区分代数函数与超越函数，系统研究指数函数、对数函数、三角函数，以及它们的幂级数展开。书中还引入了伽玛函数与贝塔函数（第一类、第二类欧拉积分）、伯努利数与伯努利多项式，并给出连分数与无穷乘积的系统理论。此书把牛顿的流数术与莱布尼茨的微分法熔铸成统一语言，是 18—19 世纪分析的标准教科书。

7. 微分学与积分学的系统化教材

1755 年《微分学原理》（Institutiones calculi differentialis）与 1768—1770 年《积分学原理》（Institutionum calculi integralis，三卷）把微积分整理成系统课程。欧拉在此提出积分因子法求解一阶常微分方程，系统研究线性微分方程，引入齐次方程与常系数线性方程的解法，并讨论了二阶方程的级数解。他对微分的处理采用"无穷小量"立场（虽不严格），其清晰的表述使其成为此后一百年微积分教学的蓝本，直接影响了拉格朗日、柯西的教材传统。

8. 图论的诞生：哥尼斯堡七桥

问题背景：普鲁士哥尼斯堡（今加里宁格勒）的普雷格尔河上有七座桥连接两岸与两个岛，市民问能否不重复地一次走完所有七座桥。欧拉 1736 年在论文《与位置几何有关的一个问题的解》（Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis，发表于圣彼得堡科学院纪事 8 卷，1736 年提交、1741 年正式刊出）中给出否定解答。关键思想：把陆地抽象为顶点、桥抽象为边，证明存在经过每条边恰好一次的闭迹（欧拉回路）当且仅当每个顶点的度数都是偶数；七桥图四个顶点度数全为奇数，故无解。意义：这是图论的第一篇论文，也是"位置几何"（geometria situs，莱布尼茨提出的拓扑学前身名称）的第一个具体成果。欧拉未使用现代图论术语，但其抽象方法开创了整个领域。

9. 拓扑学的萌芽：多面体公式 $V-E+F=2$

问题背景：对任意凸多面体，顶点数 $V$、棱数 $E$、面数 $F$ 之间有无普适关系？1750 年 11 月 14 日欧拉在致哥德巴赫的信中宣布 $V-E+F=2$，1752 年发表两个证明（按面数剖分与按顶点去棱）。精确表述：对任意凸多面体（更一般地，对同胚于球面的闭曲面的三角剖分/剖分），$V-E+F=2$；更一般亏格为 $g$ 的曲面有 $\chi=V-E+F=2-2g$，即欧拉示性数。与前人关系：笛卡尔约 1630 年的未刊手稿《论立体的元素》中有一个等价的角度关系（面角和公式），但未显式写出 $V-E+F$；欧拉独立发现并明确提出该关系。意义：这是拓扑学的第一个定理，$V-E+F$ 是首个拓扑不变量，后世发展为同调论与示性类理论的源头。

10. 无穷级数与欧拉常数 $\gamma$

1734—1735 年，欧拉研究调和级数 $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ 的渐近行为，发现 $H_n-\ln n$ 收敛到一个常数，他计算到 16 位小数（$0.5772156649015329\ldots$），后称欧拉常数（因马歇罗尼 Mascheroni 后来计算更多位数时在第 20 位出错并引发讨论，合称欧拉—马歇罗尼常数 $\gamma$）。其精确陈述为

$$\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right)=-\Gamma'(1)\approx0.5772156649\ldots$$

$\gamma$ 是否无理数至今未解，是最古老的分析学开放问题之一。欧拉还系统发展了级数求和法（欧拉求和公式，联系求和与积分，含伯努利数），以及发散级数的可和性思想（如对 $1-1+1-1+\cdots$ 赋值 $1/2$）。

11. 伽玛函数与特殊函数

1729 年，22 岁的欧拉在与哥德巴赫的通信中提出阶乘的连续插值问题，引入了第二类欧拉积分

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx\quad(s>0),$$

满足 $\Gamma(n+1)=n!$（记号 $\Gamma$ 是后来勒让德引入的，欧拉用的是另一种记号 $[\cdots]$）。与之配套的贝塔函数（第一类欧拉积分）$B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,dx=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$。欧拉还系统研究了超几何函数、椭圆积分（第一类与第二类），为 19 世纪特殊函数论与椭圆函数论奠基。

12. 数论中的乘积公式与素数分布

1737 年，欧拉证明了把 $\zeta(s)$ 与素数联系起来的欧拉乘积

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\prod_{p\text{ 素}}\frac{1}{1-p^{-s}}\quad(s>1),$$

并由此推出级数 $\sum_{p}1/p$ 发散（素数的倒数和发散），从而给出"素数有无穷多个"的一个解析证明（欧几里得的是纯算术证明）。这是解析数论的起点：用分析工具（级数、积分）研究素数，直接启发了狄利克雷（算术级数中的素数）与黎曼（1859 年 $\zeta$ 函数论文）。欧拉还提出了后来称为欧拉判别准则的二次剩余判定，并研究了分拆函数的生成函数。

13. 组合数学：分拆、五角数定理与欧拉数

欧拉在整数分拆理论中有开创性贡献：五角数定理

$$\prod_{n=1}^\infty(1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^k x^{k(3k-1)/2}=1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-\cdots$$

给出分拆函数 $p(n)$ 的递推关系（$p(n)=\sum_k (-1)^{k+1}\big(p(n-\omega_k)+p(n-\omega_{-k})\big)$，其中 $\omega_k=k(3k-1)/2$ 为五角数）。他还引入了欧拉数（多项式系数，与排列的上升次数相关）、欧拉多项式，并研究了错排问题（derangements），给出 $!n=n!\sum_{k=0}^n(-1)^k/k!$。这些工作使组合数学从计数谜题走向生成函数方法。

14. 解析几何、代数与四次方程

欧拉把解析几何系统化：在《引论》第二卷中用坐标统一处理平面曲线与空间曲面，研究二次曲线与二次曲面的分类（圆锥曲线、二次曲面的一般理论），并讨论了空间曲线。在 1770 年《完整代数学指南》中，他系统整理了方程理论，给出四次方程的欧拉解法（把四次方程化为预解三次方程求根），并对数论与代数基础作了普及性的严密叙述。他还证明了代数基本定理的一个早期形式（每个实系数多项式可分解为一次与二次实因子），尽管其严密性后来由高斯的博士论文（1799）补足。

15. 经典力学：刚体、流体与变分原理

欧拉把牛顿力学从几何论证改造为分析力学。- 刚体动力学：1765 年《刚体运动理论》引入欧拉角描述刚体姿态，并导出刚体绕定点转动的欧拉方程

$$I_1\dot{\omega}_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=M_1,\quad\text{（及其循环置换）},$$

其中 $I_i$ 为主转动惯量、$\omega_i$ 为角速度在主轴系的分量；他还发现了欧拉陀螺（欧拉盘）的自由运动。- 流体力学：1757 年建立理想流体的欧拉运动方程

$$\rho\left(\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right)=-\nabla p+\rho\mathbf{f},$$

连同连续性方程，构成流体力学的基本方程组（纳维—斯托克斯方程加上黏性项即是其推广）。- 最小作用量原理：与莫佩尔蒂一起发展了变分形式的力学原理，并卷入了与柯尼希（König）、伏尔泰的优先权之争（见第六节）。

16. 天文学：月球理论与三体问题

欧拉是 18 世纪最重要的天体力学家之一。他研究月球运动（受地球与太阳引力的三体问题），1772 年出版 775 页的《月球运动理论》（Theoria motuum lunae），给出可用于航海定位的月球历表计算方法，为此获得英国经度委员会的奖金。他还研究了彗星轨道的行星摄动（1762 年与克莱罗 Clairaut 分享圣彼得堡科学院奖），以及木星与土星的大不相等（great inequality）。其天体力学方法为后来拉格朗日与拉普拉斯的工作铺路。

17. 光学、音乐与应用技术

欧拉支持光的波动说（反对牛顿的微粒说），1746 年出版《光与色彩的新理论》，用弹性以太的纵振动解释光；虽其理论细节后来被杨与菲涅耳超越，但他对波动说的坚持在 18 世纪有重要影响。1739 年《新音乐理论试作》提出把八度按对数均分，是音乐声学的早期数学化尝试。此外他还参与火炮弹道学（《炮兵原理》，发展罗宾斯 Robins 的工作）、造船与航海（《航海科学》）、保险与年金精算、运河水利（修浚菲诺运河、无忧宫的水泵系统）、磁学与制图等大量国家工程，体现了启蒙时代"数学家—工程师"的通才面貌。

四、代表著作与文献

五、师承、学派与同时代交往

老师：约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748） 是欧拉唯一的正式导师，通过每周六的 privatissima 答疑培养他；父亲保罗·欧拉与雅各布·伯努利也有师生之谊。欧拉自认受益于伯努利推荐的阅读书单（瓦里尼翁、笛卡尔、牛顿、伽利略、范·斯霍滕、雅各布·伯努利、赫尔曼、泰勒、沃利斯等）。

挚友与主要通信者： - 克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach，1690—1764）：圣彼得堡科学院常任秘书，欧拉 1729—1764 年与之大量通信——伽玛函数（1729）、欧拉常数、多面体公式（1750 信）、哥德巴赫猜想（1742 年哥德巴赫在信中提出，欧拉回信认可并提出等价版本）都诞生于这条通信线。这批书信是 18 世纪科学史的重要一手文献。 - 丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）：同窗与挚友，在圣彼得堡同住；两人在流体力学、振动理论上长期交流。 - 约瑟夫—路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813）：1755 年 19 岁的拉格朗日写信给欧拉，用 $\delta$ 变分法改进了欧拉的变分推导；欧拉热情回复并撤回自己已写的相关方法以让拉格朗日居先，二人结为挚友，变分法的核心方程遂以两人命名。拉格朗日后来全面继承并超越了欧拉在分析与力学上的事业。 - 达朗贝尔（d'Alembert）、克莱罗（Clairaut）、莫佩尔蒂（Maupertuis）、孔多塞、丹尼尔·伯努利：围绕最小作用量原理、振动弦、月球理论的长期学术对话与争论。 - N. I. 富斯（Nicolaus Fuss，1755—1826）：1772 年从瑞士请来的助手，后成为欧拉的孙女婿，1776 年起正式协助，7 年间帮其整理发表逾 250 篇文章，并在欧拉身后写了著名的悼词。

学派归属：欧拉属伯努利学派的嫡系传人，但他的影响力远超学派，成为 18 世纪欧洲数学的共同中心。后继者：拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、高斯等整个 19 世纪数学的中坚都直接受其著作哺育。

六、争议、公案与历史评价

最小作用量原理的优先权之争：1740 年代，莫佩尔蒂提出最小作用量原理，欧拉在 1744 年《变分法》中独立给出数学表述并支持莫佩尔蒂。1751 年，新当选柏林院士的柯尼希（J. S. König） 声称莱布尼茨在给赫尔曼的信中已有此原理，暗指莫佩尔蒂剽窃；但他拿不出原信。欧拉受命调查，因本人不认同莱布尼茨哲学，结论支持莫佩尔蒂并反指柯尼希伪造。伏尔泰站在柯尼希一边，写讽刺诗嘲笑莫佩尔蒂与欧拉。此事虽非欧拉之本意，却使他与伏尔泰交恶，也暴露出他在哲学立场上的偏颇。

$n=3$ 费马大定理证明的严密性：欧拉在 1770 年《代数学》中给出 $x^3+y^3=z^3$ 无非平凡整数解的证明，学界一般认为其证明存在一个未严格证明的环节（对形如 $a+b\sqrt{-3}$ 的数默认了唯一分解），后由高斯等人补全；但欧拉的整体思路（无穷递降）被视为正确的首创。

记号 $i$ 的发表时间：$i=\sqrt{-1}$ 是欧拉 1777 年在一篇未发表手稿中使用，身后才发表，因此其流行是较晚的事；1748 年的欧拉公式中他用的是 $\sqrt{-1}$。

后世评价：拉普拉斯有句广为流传的话——"读欧拉吧，他是我们所有人的老师"（Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous，存疑：此语的原始出处与精确措辞学界有讨论，常归之于拉普拉斯，但确切引语的一手文献链不十分清晰；不过其广为引述，且欧拉是拉普拉斯的直接思想前驱这一点毫无争议）。高斯称欧拉为"数学界的莎士比亚"。欧拉的高产（全集 80 余卷、论文逾 800 篇）在数学史上只有柯西、庞加莱等少数人可堪比拟。

七、身后影响与学术谱系

分析学：欧拉把微积分从计算技巧升级为关于函数的系统科学，直接哺育了拉格朗日的《解析函数论》、柯西的严密化，以及黎曼的复分析。复变函数论的核心工具留数与级数展开，思想源头都在欧拉。

数论：费马小定理的证明、欧拉定理、二次互反律特例、欧拉乘积、分拆——这些构成了从费马到高斯《算术研究》的关键一环；欧拉乘积更是解析数论的起点，通向狄利克雷 L 函数与黎曼 ζ 函数。

图论与拓扑：1736 年的七桥论文与 1750 年的多面体公式，分别是图论与拓扑学的诞生日；$V-E+F$ 演化为欧拉示性数，是代数拓扑最基本的不变量。

力学与物理：欧拉方程（流体）、欧拉角与刚体方程、变分原理是经典力学的标准语言，其思想经由拉格朗日、哈密顿一路传到现代物理；流体力学的纳维—斯托克斯方程是欧拉方程加黏性项。

符号遗产：$f(x), e, i, \pi, \Sigma, \sin, \cos$ 等记号已成为数学的"ASCII"，任何现代数学文本都离不开它们——这或许是欧拉最不可见却最深层的影响。

应用领域：月球理论推动了航海定位与经度问题的解决；其精算与保险研究影响了现代风险管理；波动光学的坚持为 19 世纪光的波动说复兴保留了火种。

八、延伸阅读与权威来源