洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari）

从卡尔达诺家的仆人成长为解出四次方程的数学家，又在万众瞩目的公开辩论中击败塔尔塔利亚；他是文艺复兴代数突破中最耀眼的「少年天才」。

一、生平与时代背景

洛多维科·费拉里 1522 年 2 月 2 日生于意大利博洛尼亚（当时属教皇国）。其祖父巴尔托洛梅奥·费拉里（Bartholomew Ferrari）原住米兰，被迫迁居博洛尼亚；那是意大利北部的多事之秋——强族割据，法国、神圣罗马帝国与教皇的军队反复争夺领土。祖父有二子：文森佐（Vincent）与亚历山大（Alexander），亚历山大即洛多维科之父。父亲死后，洛多维科由叔父文森佐抚养。

叔父文森佐有个儿子卢克（Luke），是个不安分的青年，离家到米兰谋职，正好卡尔达诺在招仆人。卢克干了一阵又不告而别返回老家。卡尔达诺来信要求文森佐把卢克送回继续服役，文森佐却趁机把亲儿子留在身边、把侄子洛多维科打发了去。

1536 年 11 月 30 日，14 岁的洛多维科来到米兰卡尔达诺家中顶替卢克做仆人。卡尔达诺发现这少年能读会写，便免了他的杂役，任命为秘书；很快看出他天资过人，开始亲自教他数学。费拉里则帮老师整理手稿，18 岁就开始讲学。1541 年，卡尔达诺慷慨辞去皮亚蒂基金会的数学讲师之职以让位给费拉里；费拉里在辩论中轻松击败唯一对手祖安内·达·科伊（Zuanne da Coi），20 岁便成为几何学公共讲师。

数学上，他与卡尔达诺在塔尔塔利亚极不情愿提供的三次方程解法基础上突飞猛进。1540 年，18 岁的费拉里发现了四次方程的解法，论证优美，但因依赖三次方程的解法，在三次解法公开之前无法发表。苦于成果无法问世，1543 年他随卡尔达诺赴博洛尼亚拜访德尔费罗的女婿、继任教授安尼巴莱·德拉纳韦，后者出示了德尔费罗的遗稿，证明塔尔塔利亚并非三次方程的首创者。卡尔达诺据此认为可以不受誓言约束，于 1545 年在《大术》中同时发表了三次与费拉里的四次解法。

塔尔塔利亚怒不可遏，费拉里写信痛斥并下战书。两人在公开信中互相辱骂约一年，1548 年塔尔塔利亚因获家乡布雷西亚的教职邀请、被要求赴米兰了结这场论战。1548 年 8 月 10 日，全意大利瞩目的辩论在米兰「方济各会（Frati Zoccolanti）花园教堂」举行，米兰总督费兰特·迪·贡扎加（Don Ferrante di Gonzaga）任总裁决，名流云集。第一天结束时塔尔塔利亚见势不利，当夜便离开米兰，胜负遂归费拉里。

此役使费拉里声名鹊起，各国君主争相延聘（包括皇帝想请他做儿子的老师），但他选择了更赚钱的职位：任米兰总督费兰多·贡扎加的税务评估官，后转入教会任职，年纪轻轻便致富退休，回到博洛尼亚与守寡的姐姐马达莱娜（Maddalena）同住。1565 年他被任命为博洛尼亚大学数学教授，却于同年 10 月 5 日去世，年仅 43 岁。有传闻称他是被姐姐用白砒霜毒杀——据卡尔达诺记述，马达莱娜在弟弟葬礼上毫无悲色，继承遗产后两周便再婚，把全部财产转给新夫，新夫却旋即弃她而去，她最终死于贫困。毒杀之说系传闻，存疑。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 四次方程的一般代数解法（费拉里方法）

问题背景：三次方程解法突破后，四次方程（quartic）的一般解法是当时最自然的挑战；帕乔利 1494 年仍断言一般四次方程「在当前科学水平下不可能」。关键思想：把四次方程通过配方降为一个三次方程（「预解式」），再用已有的三次方程解法求解，最后开方化为两个二次方程。精确表述（以缺 $x^3$ 项的四次方程 $x^4+px^2+qx+r=0$ 为例）：

(1) 配方：$(x^2+p)^2 = px^2 - qx - r + p^2$；

(2) 引入参数 $y$，两边同加 $2y(x^2+p)+y^2$，得 $(x^2+p+y)^2 = (p+2y)x^2 - qx + (p^2-r+2py+y^2)$；

(3) 令右边关于 $x$ 的二次式为完全平方，即其判别式为零： $(-q)^2 - 4(p+2y)(p^2-r+2py+y^2)=0$， 这是一个关于 $y$ 的三次方程（费拉里预解式），可用三次方程求根公式解出 $y$；

(4) 代回后两边开平方，得到两个关于 $x$ 的二次方程，分别求解即得四次方程的四个根。

与前人的关系：这是人类首次解出一般四次方程，方法归费拉里；卡尔达诺在《大术》中整理发表了四次方程的全部 20 种情形并署名。局限性：与三次方程一样，求解过程中可能出现复数（「不可约情形」），当时只取正根；方法虽优美但依赖三次方程的先验可解性。

2. 对三次方程的深化理解与公开辩论

问题背景：塔尔塔利亚虽宣称解出三次方程，但在辩论中暴露其理解并不全面。关键思想：费拉里在准备与塔尔塔利亚辩论期间，系统消化了三次方程的各类情形与证明，对三次、四次方程的理解「比对手更透彻」。精确表述：1548 年米兰辩论中，费拉里能回应塔尔塔利亚的种种质疑并发起更有力的反击，证明他真正掌握了方程求解的一般理论，而非只会套用某个口诀。与前人的关系：他把卡尔达诺传授的解法内化为完整理论。局限性：其数学著作大多未单独流传，主要成果借《大术》与辩论记录传世。

3. 与塔尔塔利亚的「数学挑战书」(Cartelli di matematica disfida)

问题背景：16 世纪意大利数学家常用公开信（challenge cartelli）互相出题驳难。关键思想：费拉里与塔尔塔利亚之间的挑战书与反击信（contro-cartelli）是这一传统的典型文献。精确表述：双方的通信以公开信形式发表，内容除数学出题外，还充斥激烈的人身攻击；这些文献由后世学者（di Pasquale、Masotti 等）整理研究，是了解文艺复兴数学论战文化的一手材料。与前人的关系：延续了菲奥—塔尔塔利亚 1535 年挑战赛的传统。

四、代表著作与文献

• 费拉里没有独立出版的数学专著；其四次方程解法载于卡尔达诺《大术》(Ars Magna, 1545)，书中明确署名。
• 卡尔达诺在全集(Opera Omnia, IX, 1663)中收有《费拉里生平》(Vita Ludovici Ferrarii Bononiensis)，是研究其生平的一手史料。
• 与塔尔塔利亚的挑战书及反击信见 di Pasquale、Masotti 整理的研究文献（见第八节）。
• 据 Fiocca 研究，存在费拉里的一些未刊手稿（Some unpublished works of Ludovico Ferrari, 1988）。

五、师承、学派与同时代交往

• 老师吉罗拉莫·卡尔达诺：发现其天才并亲自教导；两人是三次/四次方程突破的核心搭档。费拉里从家仆、秘书到数学家、合作者，与卡尔达诺关系极深。
• 对手尼科洛·塔尔塔利亚：因《大术》发表三次方程解法反目，1548 年米兰辩论的对手。
• 西皮奥内·德尔费罗与安尼巴莱·德拉纳韦：1543 年与卡尔达诺共同查阅德尔费罗遗稿，这是打破誓言、发表解法的关键依据。
• 米兰总督费兰特·迪·贡扎加：1548 年辩论的总裁决，后聘其为税务评估官。
• 费拉里无著名数学传人；其早逝使意大利代数的火炬主要经由《大术》传向邦贝利与北欧的韦达等后继者。

六、争议、公案与历史评价

• 三次/四次方程优先权之争中的角色：费拉里是卡尔达诺阵营的主力战将。他发现四次方程后，因三次解法受誓约束而无法发表，遂与卡尔达诺同赴博洛尼亚寻找依据；《大术》发表后，又是他主动向塔尔塔利亚下战书并在辩论中获胜。
• 被姐毒杀说：传闻他死于姐姐马达莱娜的白砒霜投毒，源于卡尔达诺的记述及姐姐异常的行为（无悲色、速再婚、遗产转移），但无直接证据，存疑；亦可能死于其他急病。
• 历史定位：费拉里常被视为卡尔达诺的附属，但他独立解出四次方程是真正的原创贡献，且在辩论中展现的理论功底说明他绝非单纯的「学生」。MacTutor 评价其四次解法是「所有四次方程解法中也许最优美的一种」。
• 早逝的损失：43 岁去世，若天假以年，可能在方程论上有更多建树。

七、身后影响与学术谱系

• 四次方程求解传统：费拉里方法是后世一切四次方程解法的源头；欧拉、拉格朗日、贝祖、笛卡尔、契恩豪斯（Tschirnhaus）等都在此基础上发展新解法，而拉格朗日对四次预解式的分析，直接启发了阿贝尔—伽罗瓦证明五次方程无一般根式解。
• 论战文化：与塔尔塔利亚的公开辩论是文艺复兴时期数学公共文化的标志性事件，反映了当时数学家通过公开竞赛确立声誉与优先权的风气。
• 学术谱系：德尔费罗 → 塔尔塔利亚 → 卡尔达诺 → 费拉里 →（经《大术》）邦贝利、韦达、笛卡尔…… 构成近代代数方程论的主线。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor: Lodovico Ferrari：圣安德鲁斯大学数学史档案，本档案主要来源。
• Dictionary of Scientific Biography: Ferrari（S. A. Jayawardene）：DSB 经典条目。
• MacTutor 史专题：Quadratic, cubic and quartic equations：费拉里四次方程解法的精确技术表述。
• MacTutor 史专题：Tartaglia versus Cardan：优先权之争与米兰辩论的原始文献。
• Encyclopaedia Britannica: Lodovico Ferrari：权威百科条目。
• The Galileo Project: Lodovico Ferrari：莱斯大学伽利略项目条目。
• G. Cardano, Vita Ludovici Ferrarii Bononiensis, in Opera Omnia IX (Lyons, 1663)：费拉里生平一手史料。
• A. Masotti, Sui 'Cartelli di matematica disfida' scambiati fra Lodovico Ferrari e Niccolò Tartaglia (1960)；L. di Pasquale, 两卷本费拉里—塔尔塔利亚挑战书研究 (1957)：论战文献整理。