贾宪（Jia Xian）

北宋数学家，「宋元数学高潮」的真正奠基者之一；他发明的二项式系数表（贾宪三角）与机械化的高次开方算法（增乘开方法），为后来秦九韶、李冶、朱世杰的代数成就铺平了道路。

一、生平与时代背景

关于贾宪的生平，信史极少。其姓名西文又作 Chia Hsien（威妥玛拼音）。据《宋史》及钱宝琮等考证的零星记载：贾宪是开封府胙城（今河南延津）历算家楚衍的学生，学习天文与历算。楚衍活跃于 1022—1054 年间，对《九章算术》《缉古算经》《海岛算经》均有精深研究，因此贾宪受业应在这一区间内，且大致在楚衍学术生涯的早期。

据钱宝琮《中国数学史》，贾宪曾任左班殿直（一说隶籍太史局的内侍宦官）。北宋的「殿直」多为低级武阶或内侍官衔，这一身份有助于解释他为何能出入太史局、接触历算典籍，但具体仕途已不可考。贾宪约生于 1010 年、卒于 1070 年（MacTutor），即主要活动于北宋真宗至神宗朝，正值算学在唐代《算经十书》基础上酝酿突破的时期。

贾宪的两部著作——《黄帝九章算经细草》九卷与《释锁算书》（MacTutor 另记第二书为 Suanfa Xuegu Ji，疑为同名异录或另一种，存疑）——均已失传。其成果能为后世所知，全赖南宋杨辉在 1261 年《详解九章算法》中大量摘录并注明「贾宪用此术」；此外，《释锁算书》的片断被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，现存英国剑桥大学图书馆。中算史家郭书春评价：「贾宪是宋元数学高潮的主要推动者」——这一论断已被学界广泛接受。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 贾宪三角（开方作法本源）：二项式系数表

贾宪构造了一张二项式 $(a+b)^n$ 展开系数的三角形数表，称为「开方作法本源」（即后世通称的「贾宪三角」，因杨辉刊载而又名「杨辉三角」，西方称「帕斯卡三角」，但 Pascal 的工作晚了约六百年）。他计算到了 $n=6$ 的一行：

$$\begin{gathered} 1\ 1\quad 1\ 1\quad 2\quad 1\ 1\quad 3\quad 3\quad 1\ 1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\ 1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\ 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1 \end{gathered}$$

关键在于，从杨辉的转述可以确认，贾宪懂得生成这张表的递推法则：每个数等于其「肩上」两数之和（即 $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$）。图中各行系数在开方术中分别称为「隅」「下廉」「上廉」等「廉」位，正是二项展开的各项。这是中国数学史上第一次明确呈现二项式系数的组合结构，也为高阶开方提供了现成的系数表（他称之为「立成」，即预计算表）。

2. 立成释锁法：用贾宪三角开任意次方

在贾宪之前，《九章算术》只给出开平方、开立方的方法。贾宪把开方推广到任意 $n$ 次方（$n>3$），其法称为「立成释锁法」：「立成」指使用预先算好的贾宪三角作为系数表，「释锁」指逐层「解锁」求出根的各位数字。利用 $(a+b)^n$ 的二项展开（系数取自三角），即可从被开方数中逐位减去相应项，得到 $n$ 次方根。MacTutor 指出，贾宪用此法与后来阿拉伯的萨马瓦尔（al-Samawʾal，12 世纪）各自独立地得到了 $n$ 次方根的同一近似公式：若 $a$ 是 $\sqrt[n]{A}$ 的整数部分，则

$$\sqrt[n]{A}\approx a+\frac{A-a^{n}}{(a+1)^{n}-a^{n}},$$

分母正是用贾宪三角的系数计算的。中阿之间是独立发现还是经由丝路传播，Chemla 经比较后认为悬而未决。

3. 增乘开方法：机械化的高次开方与方程求根（鲁菲尼–霍纳法）

贾宪更重要的发明是「增乘开方法」（「增乘」即随乘随加）：在求出根的某一位后，以该位得数自下而上递乘递加，构造出「减根方程」，再求下一位。其每一步的操作完全相同（乘、加、减），因而高度程序化、机械化，且可无缝推广到求任意次多项式方程的正根，而不仅是纯开方。这正是西方所谓的鲁菲尼–霍纳法（Ruffini–Horner method），但贾宪比 Ruffini（1804）、Horner（1819）早了约七百五十年。

以解方程 $x^3=146363183$ 为例（MacTutor）：因 $10^6<x^3<10^9$，知 $100<x<1000$，设 $x=100a+10b+c$。由 $500^3=125000000,\ 600^3=216000000$ 得 $a=5$；用增乘开方构造减根方程，得 $b=2$；继续得 $c=7$，故 $x=527$（验证 $527^3=146363183$）。

法国学者 Karine Chemla 经仔细比较《九章算术》、5 世纪张丘建及阿拉伯诸家的开方术后断定：贾宪是历史上第一个使用鲁菲尼–霍纳型算法的人；阿拉伯世界则由 12 世纪的 al-Samawʾal 最早使用。这一结论已被中算史界广泛接受。

局限：贾宪的算法只求正根（中国古代不考虑负根），且原书已佚，今日所见皆为杨辉转述，细节的复原依赖现代学者的考证。

四、代表著作与文献

• 《黄帝九章算经细草》九卷：为《九章算术》所作的细草（演算详解），原书已佚，主要内容经杨辉《详解九章算法》（1261）转载而存世。
• 《释锁算书》：贾宪的另一部算书，已佚；片断存于《永乐大典》卷一六三四四，今藏剑桥大学图书馆，含「开方作法本源」图（贾宪三角）。
• MacTutor 另记一书题 Suanfa Xuegu Ji（《算法学古集》？），与《释锁算书》的关系学界未厘清，存疑。

五、师承、学派与同时代交往

• 师承：师从历算家楚衍（《宋史·方技志》有载），楚衍精《九章》《缉古》《海岛》，是贾宪进入算学传统的引路人。
• 传承：贾宪本人无明确弟子记载，但他的成果通过两条路径影响后世：
• 杨辉在《详解九章算法》中系统转载，使贾宪三角与开方术在南宋末年广为人知；
• 增乘开方法经发展成为「正负开方术」，被秦九韶《数书九章》（1247）用于求解任意高次方程（秦九韶算法），并为李冶、朱世杰所沿用。
• 贾宪与沈括大致同时（11 世纪中后期），但二人是否有直接交往，史无明文。

六、争议、公案与历史评价

• 优先权与命名：该二项式系数表在西方称「帕斯卡三角」，在中国常称「杨辉三角」；但据杨辉自述，此表出自贾宪，故中算史界多称「贾宪三角」以正其名。命名之争反映了成果归属需回溯原始出处。
• 增乘开方法的原创性：Chemla 考证贾宪为鲁菲尼–霍纳法的最早使用者，早于阿拉伯与欧洲；但中阿之间是否有传播，尚无定论。
• 身份：钱宝琮谓其为「左班殿直」（内侍官），是否为宦官在不同文献中表述不一，存疑。
• 常见误传：把增乘开方法说成「秦九韶发明」——准确地说，贾宪首创，秦九韶在《数书九章》中将其完善为「正负开方术」，处理任意次多项式方程并允许负系数。

七、身后影响与学术谱系

贾宪的工作是宋元数学高潮的技术基石。他的两条贡献直接开启了后世两条主线：（1）贾宪三角把二项式系数引入中国数学，影响了高阶等差级数（垛积术）与组合数学的发展，并经杨辉、朱世杰延续；（2）增乘开方法经秦九韶、李冶、朱世杰发展为完整的高次方程数值解法，使中国在 13 世纪达到世界代数学的顶峰，领先欧洲直至 19 世纪。从学术谱系看：贾宪 → 杨辉（传其三角与开方）→ 朱世杰；贾宪 → 秦九韶（正负开方术）→ 近世方程论。可以说，没有贾宪，就不会有 13 世纪中国代数的高峰。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor: Jia Xian (约 1010—约 1070)：圣安德鲁斯大学数学史档案，权威传记，含增乘开方法的算例与 Chemla 的中阿比较结论。
• 贾宪 - 维基百科（中文）：生平、著作与贡献概述，含《永乐大典》藏本说明。
• 增乘开平方法 - 百科：对增乘开方法的中文解读及《永乐大典》藏本线索。
• 古算瑰宝「增乘开方法」——中国古代重要科技发明创造（四十四）：《科技日报》对增乘开方法的科普，含程序化思想的阐释。
• MacTutor: Horner 与 Ruffini：西方同名算法的发明者，用于时间对比。
• K Chemla, "Similarities between Chinese and Arabic mathematical writings I: Root extraction", Arabic Sciences and Philosophy 4(2), 1994, 207–266：中阿开方术的比较研究，论证贾宪的优先权。
• 郭书春：《中国科学技术史·数学卷》第十五章（科学出版社），含「贾宪是宋元数学高潮主要推动者」的论断。