阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre）

18—19 世纪之交最多产的法国数学家之一——他把椭圆积分、数论与最小二乘法推向前台，却常因优先权与署名被高斯、拉普拉斯盖过风头；其著述与教科书影响了整整一个世纪的数学教育。

一、生平与时代背景

阿德里安-马里·勒让德于 1752 年 9 月 18 日出生。MacTutor 与多数来源记其生于巴黎，但亦有证据（如爱丁堡皇家学会的会士档案）称其生于图卢兹、幼年随家迁居巴黎——出生地存在巴黎/图卢兹两说，存疑。他出身富裕家庭，在巴黎的马萨林学院（Collège Mazarin）接受了一流的数学与物理教育。1770 年，18 岁的他在马萨林学院为数学与物理论文答辩，但按当时风气，这更像一份研究计划而非完成的成果（文中列出他打算研读的文献与拟证的结果）。因家境优渥无需谋生，他留在巴黎专心研究。

泊松在其悼词中转述勒让德的心愿：「谈到他时只谈他的著作就够了——著作就是他的全部生命。」正因如此，其早年生活细节留存甚少。

1775—1780 年，他与拉普拉斯一同在军事学校（École Militaire）任教（职位由达朗贝尔举荐）。1782 年，他以《关于在阻尼介质中抛射体弹道的研究》（Recherches sur la trajectoire des projectiles dans les milieux résistants）应征柏林科学院关于炮弹弹道的有奖征文并获奖，由此开启研究生涯，也引起时任柏林数学部主任拉格朗日的注意。

1783 年 1 月，他把椭球引力的研究（含后来所称的勒让德函数）提交巴黎科学院，拉普拉斯在 3 月的报告中给予高度评价；3 月 30 日，勒让德当选科学院助理院士（adjoint），填补拉普拉斯升 associate 后留下的空缺。此后数年他在多个领域发表成果：1784 年《行星形状研究》（含勒让德多项式）、1785 年《不定分析研究》（数论，含二次互反律与等差级数中的素数定理）、1786 年椭圆积分论文。

1785 年升 associate 院士。1787 年，他参加与伦敦格林尼治天文台合作的大地测量（英法三角联测），赴多佛与伦敦，得以结识赫歇尔；此项工作使他当选伦敦皇家学会会员，并发表含球面三角形勒让德定理的论文。1791 年 5 月 13 日入科学院度量衡委员会，参与公制制定与米的测量。1793 年大革命使他失去了赖以舒适生活的私人财产，同年他迎娶玛格丽特-克洛蒂娜·库安（Marguerite-Claudine Couhin），妻子帮他逐步重整家业，使他得以继续研究。1792 年起，他与德·普罗尼（de Prony）、卡诺等主持大型对数三角函数表（「地籍册」Cadastre）的编制，动用 70—80 名助手，1801 年完成。

1794 年出版《几何原理》（Éléments de géométrie），此后近百年主导欧洲（及美国译本）的初等几何教育；书中给出 π 无理性的简化证明与 π² 无理性的首个证明。1795 年科学院改组为国家研究院，他成为数学部六名成员之一；1803 年拿破仑重组研究院、增设几何部，他被划入几何部。1798 年出版《数论》（Théorie des nombres）初版，1808 年大幅修订再版（采用并署名高斯的二次互反律证明，同时给出 π(n) 的估计）。1806 年出版彗星轨道测定之书，附录首次发表最小二乘法——由此与高斯结下多年优先权恩怨。

1811、1817、1819 年，他的椭圆积分巨著《积分计算练习》（Exercices du Calcul Intégral）三卷问世（引入 Γ 符号并规范化 Γ(n+1)=n!）；1825、1826、1830 年又出版重写的《椭圆函数论》（Traité des Fonctions Elliptiques）三卷。然而他穷尽四十年研究椭圆积分，却始终未获得阿贝尔与雅可比的「反演」洞见，新著几乎甫一出版即被后者超越。他尝试证明平行公设长达 30 年，皆因最终依赖「从欧几里得观点看显然」的命题而失败；1832 年（鲍利发表非欧几何之年）他仍坚信欧氏空间的确定性。

1824 年，他拒绝在国家研究院投票支持政府提名的候选人，养老金因此被停发，晚景贫困。1833 年 1 月 9 日（MacTutor 记为 1 月 10 日，DSB 与 Wikipedia 作 1 月 9 日，存疑）卒于巴黎，经长期病痛折磨。遗孀精心保存其遗物，1856 年去世后与他合葬于巴黎欧特伊（Auteuil）墓地。勒让德是埃菲尔铁塔上铭刻的 72 位法国科学家之一，月球上有以他命名的「勒让德环形山」，主带小行星 26950 号亦以他命名。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 勒让德多项式与勒让德函数（1782—1784）

问题背景：计算旋转椭球对外部质点的引力，需要把引力位按某种正交函数系展开。

关键思想：勒让德研究轴上椭球引力时，把两点距离倒数的展开作为出发点。设两点到原点距离 $r'\ge r$、夹角为 $\theta$，则

$$\frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\theta}}=\frac{1}{r'}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r}{r'}\right)^n P_n(\cos\theta),$$

其中 $P_n$ 即勒让德多项式，其母函数为

$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)t^n,\qquad |t|<1.$$

它们满足勒让德微分方程

$$(1-x^2)P_n''-2xP_n'+n(n+1)P_n=0,$$

并在 $[-1,1]$ 上关于权函数 1 正交：$\int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn}$。勒让德还引入了更一般的连带勒让德函数 $P_n^m(x)$，是三维球谐函数的角度部分。

与前人关系：1783 年勒让德先引入连带勒让德函数；拉普拉斯随后（几乎不给勒让德署名地）把它推广为三维球谐函数。麦克劳林已证明共焦椭球在主轴上外部引力与质量成正比，勒让德给出一般外部点的幂级数解。

后续影响：勒让德多项式是球对称问题（静电势、量子力学的中心力场、大地测量）的标准工具，也是高斯求积公式的节点来源。

2. 二次互反律与勒让德符号（1785）

问题背景：给定奇素数 $p,q$，何时二次同余 $x^2\equiv a\pmod p$ 有解？这是数论的基本问题。

关键思想：勒让德在 1785 年《不定分析研究》中引入了以他命名的勒让德符号

$$\left(\frac{a}{p}\right)=\begin{cases}1,& a\text{ 是模 }p\text{ 的二次剩余且 }p\nmid a,\ -1,& a\text{ 是模 }p\text{ 的非二次剩余},\ 0,& p\mid a,\end{cases}$$

并由欧拉判别法给出计算：$\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{(p-1)/2}\pmod p$。他表述了二次互反律：对不同的奇素数 $p,q$，

$$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}.$$

他还猜想：首项与公差互素的等差级数中含无穷多个素数（1837 年由狄利克雷证明）。

与前人关系：互反律的陈述最早见于欧拉 1751 与 1783 年的工作；勒让德给出符号与（不完整的）证明尝试。1801 年高斯在《算术研究》中给出首个严格证明，并批评勒让德 1785 与 1798 年的证明不够严密——高斯称该结果为「黄金定理」（theorema aureum），一生给出八种证明。勒让德深感被这位年轻人冒犯，但在 1808 年《数论》中仍采用并署名了高斯的证明。

历史评价：互反律以高斯命名（高斯首先严格证明），但符号与表述归功于勒让德；它是代数数论的起点，经希尔伯特、类域论发展为现代互反律。

3. 椭圆积分的四十年奠基（1786—1830）

问题背景：形如 $\int R(x,\sqrt{P(x)})\,dx$（$P$ 为三次或四次多项式）的积分出现在椭圆弧长、单摆周期等问题中，一般不能用初等函数表示。

关键思想：勒让德穷尽约四十年，把椭圆积分系统化为三类标准形式（第一、第二、第三类椭圆积分），建立约化理论，把任意椭圆积分化为标准形，并编制了详尽的数值表。他还研究了与椭圆积分密切相关的 β 函数 $B(p,q)=\int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$ 与 Γ 函数，引入符号 $\Gamma$ 并规范化为 $\Gamma(n+1)=n!$。

精确表述：其成果载于《积分计算练习》（1811—1819）与重写的《椭圆函数论》（1825—1830）。

与前人/后人关系：欧拉、法尼亚诺（Fagnano）已得到椭圆积分的加法定理等零散结果，勒让德集大成；但他始终把椭圆积分当作「积分」来研究，未想到反演（把积分上限表示为积分值的函数）。阿贝尔（1827）与雅可比（1829）独立发现反演后的椭圆函数是双周期亚纯函数，一举解决了整个理论，使勒让德的三大卷几乎甫出版即被超越。阿贝尔曾评价（1826 年信）：「勒让德先生极为和蔼，但不幸已老如石头。」

历史评价：勒让德为椭圆函数论铺好了所有必要的工具，阿贝尔与雅可比在此基础上完成了关键一跃；他本人也大度地承认并推崇两位年轻人的成果。

4. 最小二乘法的首次发表（1806）

问题背景：由带误差的多次观测确定未知量（如彗星轨道、测地数据），如何「最佳」拟合？

关键思想：在 1806 年《确定彗星轨道的新方法》（Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes）的附录中，勒让德提出：选择参数使残差平方和

$$\sum_{i=1}^n (y_i-\hat y_i)^2$$

最小，他称之为「最小二乘法」（méthode des moindres carrés）。这是该法的首次公开发表。

与前人关系：高斯声称已于 1795 年发现此法，1809 年在《天体运动论》中发表并（虽承认勒让德书中已有）主张自己的优先权；拉普拉斯 1810—1812 年则用中心极限定理为其提供概率基础。三方的优先权之争是 19 世纪初最著名的公案之一，勒让德为此耿耿于怀多年，1820 年甚至匿名撰文攻击高斯。

历史评价：今日最小二乘是线性回归、信号处理、统计估计的基础方法；「最小二乘法」（least squares）即译自勒让德的法语命名。学界一般承认高斯先发现、勒让德先发表、拉普拉斯给出概率证明，三人共享荣誉。

5. π 与 π² 的无理性，及素数分布猜想（1794、1798/1808）

问题背景：π 的无理性、π 是否为代数数，以及素数在整数中的分布规律，是数论的经典问题。

关键思想与精确表述： - π 无理性的简化证明与 π² 无理性的首证（1794《几何原理》）：兰伯特（Lambert）1761 年已用连分数首个证明 π 无理；勒让德给出一个更简单的证明，并首次证明 π² 是无理数，同时猜想 π 不是任何有理系数代数方程的根（即 π 的超越性，1882 年由林德曼证明）。 - 素数定理的猜想与 π(n) 的估计：1798 年他猜想 $\pi(n)$（不超过 $n$ 的素数个数）渐近于 $n/\log n$，并在 1808 年给出具体拟合式 $$\pi(n)\approx \frac{n}{\log n - 1.08366}.$$ 高斯虽更早（约 1792—1793）用 $\mathrm{Li}(n)$ 估计，但未发表；勒让德是首个把素数分布规律公之于世的人。常数 1.08366 后来被证明并非普适（正确渐近为 $\mathrm{Li}(n)$ 或 $n/\log n$，1896 年由阿达马与德拉瓦莱-普桑分别独立证明素数定理）。

历史评价：π² 无理性与素数分布猜想都是里程碑式的工作，前者推进了超越数论，后者开启了解析数论。

6. 平行公设的三十年尝试与几何教科书（1794 起）

问题背景：欧几里得第五公设（平行公设）能否由其余公理推出？这是延续两千多年的难题。

关键思想：勒让德在三十年间反复尝试证明平行公设，得到了一系列重要结果：在不依赖平行公设的前提下，他证明了三角形内角和不超过 180°；并证明内角和等于 180° 与平行公设等价。但他的「证明」总是在最后一步暗中假定了某个从欧几里得观点看「显然」的命题（如过角内一点总能作直线截两边），因而循环论证，全部失败。

与前人关系：继萨凯里（Saccheri，1733）、朗伯（Lambert，1766）之后的又一位重要尝试者。1832 年鲍利发表非欧几何时，勒让德仍写道：「三角形内角和定理应被视为那些不可争辩、体现数学确定性的基本真理之一」——他至死不接受非欧几何的可能。

历史评价：其尝试虽失败，却澄清了平行公设的等价命题，为非欧几何（罗巴切夫斯基 1829、鲍利 1832）的登场做了铺垫。他的《几何原理》则把欧几里得《原本》大幅重排简化，成为此后近百年欧洲与美国的标准几何教科书原型。

四、代表著作与文献

• 《几何原理》（Éléments de géométrie，1794，多次再版）：主导初等几何教育近百年的教科书；含 π 与 π² 无理性证明。
• 《数论》（Théorie des nombres，1798 初版，1808 再版）：数论专著，含二次互反律、素数分布猜想、连分数。
• 《积分计算练习》（Exercices du Calcul Intégral，3 卷，1811—1819）：椭圆积分、β 与 Γ 函数，引入 Γ 符号。
• 《椭圆函数论》（Traité des Fonctions Elliptiques，3 卷，1825—1830）：椭圆积分理论的重写与总结。
• 《确定彗星轨道的新方法》（Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes，1806）：附录首次发表最小二乘法。
• 大量论文载于《巴黎科学院文集》，涉及椭球引力、大地测量、数论、分析。

五、师承、学派与同时代交往

• 师承：富裕家庭出身，基本无严格数学导师；在马萨林学院受教育。达朗贝尔举荐其军事学校教职，但非传统意义上的老师。
• 学派归属：18—19 世纪法国分析与数论传统的核心成员，与拉格朗日、拉普拉斯、蒙日并列为法国数学的代表。
• 同时代交往：
• 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯：军事学校同事、科学院同僚；在球谐函数署名（拉普拉斯吝于给勒让德署名）、位势论上有竞争。
• 约瑟夫-路易·拉格朗日：柏林奖使其进入拉格朗日视野；在椭圆积分、数论上有交流。
• 卡尔·弗里德里希·高斯：在二次互反律（高斯批评其证明不严密并自称首个严格证明）、最小二乘（优先权之争）、素数分布（高斯自称更早发现）上有激烈冲突。勒让德对高斯的「剽窃」指控深感愤怒（1820 年撰文攻击）。
• 阿贝尔、雅可比：后辈，其椭圆函数反演工作超越了勒让德；勒让德大度地承认并推崇他们。
• 德·普罗尼、卡诺：共同主持 Cadastre 对数表编制。
• 赫歇尔：1787 年访英时结识。
• 同时代/后世学者：狄利克雷（证明等差级数素数定理，1837；独立给出 FLT n=5 证明）、阿达马与德拉瓦莱-普桑（素数定理，1896）、罗巴切夫斯基与鲍利（非欧几何）。

六、争议、公案与历史评价

• 最小二乘优先权之争：勒让德 1806 年首发表，高斯 1809 年发表并声称 1795 年已发现，拉普拉斯 1810 年代给出概率证明。三方各执一词，勒让德终身认为被高斯「剽窃」。现代评价：高斯先发现、勒让德先发表、拉普拉斯给理论基础，三人共享。
• 二次互反律署名：欧拉最早陈述，勒让德引入符号并尝试证明，高斯首个严格证明。以「黄金定理」归名高斯，但勒让德符号以他命名。
• 拉普拉斯不署名：拉普拉斯推广三维球谐函数时几乎不提勒让德，被 Rouse Ball 等指出。
• 相貌之谜 / 误传肖像：约两百年间流传的「勒让德肖像」实为他人；目前唯一可信的形象是 1820 年儒利安-莱奥波尔德·布瓦伊（Julien-Léopold Boilly）为研究院成员所作的水彩漫画 caricature（与傅里叶同载于一册），以及一幅据阿拉戈之子称由勒让德 1829 年赠给阿拉戈的匿名速写。
• 出生地与逝世日存疑：出生地有巴黎（多数来源）与图卢兹（RSE 档案）两说；逝世日有 1 月 9 日（DSB、Wikipedia）与 1 月 10 日（MacTutor）两说。
• 历史评价：勒让德是极勤勉而全面的数学家，在数论、分析、几何均有奠基性贡献，但常因优先权与署名被高斯、拉普拉斯盖过。其最大遗憾是四十年椭圆积分工作被阿贝尔、雅可比一举超越；但没有他的系统化整理，后者的突破难以想象。其教科书塑造了 19 世纪的数学教育。

七、身后影响与学术谱系

• 对数论：二次互反律与勒让德符号是代数数论的基石，经高斯（《算术研究》）、狄利克雷、希尔伯特、类域论发展；素数分布猜想开启了解析数论。
• 对分析与数学物理：勒让德多项式、连带勒让德函数、球谐函数是中心力场问题（原子物理、地球引力场、静电学）的标准基；勒让德变换（拉格朗日↔哈密顿、热力学势之间的变换）以他命名，是经典力学与热力学的基本工具。
• 对椭圆函数论：其椭圆积分的约化理论与表格为阿贝尔、雅可比的反演突破铺路。
• 对统计学：最小二乘法是现代统计与工程拟合的基础。
• 对几何教育：《几何原理》主导欧洲近百年的初等几何教学，影响延续至今。
• 命名遗存：勒让德多项式、连带勒让德函数、勒让德符号、勒让德变换、勒让德微分方程、勒让德定理（球面三角形）、勒让德猜想（$n^2$ 与 $(n+1)^2$ 间必有素数，仍未解决）、β/Γ 函数符号 Γ（他引入的规范化）；月球勒让德环形山、小行星 26950 Legendre、埃菲尔铁塔 72 名人之一。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor 数学史档案：Adrien-Marie Legendre：圣安德鲁斯大学权威传记，本档案主要史实出处。
• Dictionary of Scientific Biography — Legendre (MacTutor 托管)：科学传记词典条目。
• Wikipedia: Adrien-Marie Legendre：生平、著作与「误传肖像」交叉核对。
• Wikipedia: Legendre polynomials：勒让德多项式的母函数、微分方程与正交性。
• Wikipedia: Legendre symbol：勒让德符号与欧拉判别法。
• Wikipedia: Quadratic reciprocity：二次互反律及其历史（欧拉—勒让德—高斯）。
• Wikipedia: History of the function concept — least squares：最小二乘法的历史与优先权之争。
• Wikipedia: Prime number theorem：素数定理与勒让德/高斯的早期猜想。
• Wikipedia: Elliptic integral：椭圆积分的分类与历史。
• List of 72 names on the Eiffel Tower：勒让德名列其中的官方记录。