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李善兰（Li Shanlan，Li Shan-lan）

19 世纪中国最伟大的数学家与数学翻译家。他立足于中国传统算学、独立发展出蕴含积分思想的"尖锥术"与著名的"李善兰恒等式"，同时又是把近代西方数学（含微积分）系统引入中国的关键人物——既不抛弃传统，也不闭门自守，是连接中国古典数学与近代数学的桥梁。

一、生平与时代背景

李善兰，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，生于清嘉庆十五年（1810 年）（公历 1811 年 1 月 22 日；中西历差一年，生卒年系换算所致，实为同一人），卒于光绪八年（1882 年 12 月 9 日），北京。MacTutor 记作 1811 年 1 月 2 日—1882 年 12 月 9 日，与中文记载的公历日期略有出入，存疑，但相差不大。

他出身浙江海宁的书香门第，家庭重要且受过良好教育，曾聘著名文字学家陈奂教授子弟经学。李善兰自幼酷爱数学：关于他初习数学的年龄有两说——一说 8 岁时在家塾藏书楼发现《九章算术》，无师自通；一说 10 岁时在家庭教师指导下学习《九章》。两说并存，但可确定他是通过《九章算术》爱上数学的。14 岁时（1825 年），他自学了徐光启、利玛窦 1607 年译的《几何原本》前六卷。

他屡应科举不中，仅得秀才（廪生）功名，无法靠做官为生。在杭州应试期间，他购得李冶《测圆海镜》（天元术经典）与戴震《勾股割圜记》（三角学著作），天元术对他影响至深，使他开始沿中国传统代数方向开拓新问题。由于数学在当时不受重视，他被迫以塾师为业；1845 年受聘于一个重视教育的家庭，得以在教书之余潜心研究。

1852 年，为躲避太平天国战乱，李善兰前往上海，结识了伦敦布道会（London Missionary Society）的传教士，特别是伟烈亚力（Alexander Wylie）。此后八年，他与传教士合作把大量西方科学著作译为中文。离开上海后，他先入江苏巡抚徐有壬（亦精通数学、研究无穷级数）幕三年；后被曾国藩、曾国荃兄弟延入幕府，曾氏兄弟资助其数学全集于 1867 年在南京刊行（《则古昔斋算学》）。1869 年起，他就任京师同文馆数学教习（教授），与校长丁韪良（W. A. P. Martin）共事，培养中国最早的近代数学与科学人才，直至 1882 年去世。

二、学术生涯年表

年份 事件
1810（嘉庆十五年；公历 1811.1.22） 生于浙江海宁，确切公历日期有小异（存疑）。
约 1818/1820 8 岁或 10 岁开始自学《九章算术》（具体年龄两说并存）。
1825（14 岁） 自学徐光启、利玛窦译《几何原本》前六卷。
约 1830s 赴杭州应试，购得李冶《测圆海镜》、戴震《勾股割圜记》，深研天元术。
1840s 科举不第，以塾师为业；1845 年受聘于重视教育的家庭，潜心研究。
1852 避太平天国战乱至上海，结识伟烈亚力等传教士，开始合作翻译。
1857 与伟烈亚力合译出版《几何原本》后九卷（补徐光启未竟之业）。
1858 与韦廉臣、艾约瑟合译出版 Lindley《植物学》。
1859 与伟烈亚力合译出版《代微积拾级》（微积分首次系统中译）。
约 1860 离上海，入江苏巡抚徐有壬幕三年。
约 1863 入曾国藩、曾国荃兄弟幕府；曾氏兄弟资助刊刻其全集。
1867 《则古昔斋算学》在南京刊行（含《垛积比类》《方圆阐幽》等）；与艾约瑟译《重学》出版（首次引入牛顿力学）。
1869（7 月） 就任京师同文馆数学教习（教授），与校长丁韪良共事。
1872 发表《考数根法》，中国第一篇素数研究论文。
1882（12 月 9 日） 卒于北京。

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 李善兰恒等式——中国传统组合数学走向世界的标志。 关键成果：在《则古昔斋算学》中的《垛积比类》（1867 年刊，第三章）里，李善兰给出了一个重要的组合恒等式，现称李善兰恒等式（因其字壬叔，亦称"李善兰求和公式"或"Li Renshu identity"）：

$$\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}\binom{q}{k}\binom{n+k}{p+q}=\binom{n}{p}\binom{n}{q}$$

其中 $p,q,n$ 为非负整数，$\binom{a}{b}$ 为二项式系数。背景：该式源于他对"三角自乘垛"求和的研究，是朱世杰垛积术传统的深化。历史影响：1964 年捷克数学家 Josef Kaucký 发表了该恒等式的初等证明（他误作"Li Jen-Shu"，后被证实即李善兰）；在此之前，匈牙利数学家 Pál Turán 于 1936 年用微分方程与勒让德多项式给出了证明（1939 年由张永荣译为中文）。此后至少有 15 种不同证明被发现。这个恒等式的发现，让西方学者重新审视中国数学的数学价值而非仅历史价值，是中国传统数学成果被现代数学界正式命名与研究的少数例子之一。说明：李善兰以中国传统的"垛积"（筹算堆垛求和）算法形式给出，未给出严格证明；但恒等式本身完全正确。

2. 尖锥术——独立于西方的积分思想与无穷级数。 关键成果：在《方圆阐幽》（《则古昔斋算学》之一，1867 刊）中，李善兰提出"尖锥术"——一种用无穷级数求面积与体积的方法，蕴含积分思想。他的基本观念是（原文）："一尺之书由纸叠成，一丈之帛由丝积成"，即把面积/体积看作由无穷多个薄层（"尖锥"）叠加而成，对这些尖锥求和即得整体。精确地说，他建立了"诸乘尖锥"的求积公式：对于 $x^r$ 型的"尖锥"，其面积为 $\frac{1}{r+1}$（相当于 $\int_0^1 x^r dx=\frac{1}{r+1}$），并据此用无穷级数展开求出圆面积（得到 $\pi$ 的级数表达式，算得 $\pi\approx 3.14159\dots$）、三角函数（弧矢、正弦）与对数的幂级数展开。意义：这是在中国传统数学基础上独立发展出的积分思想与无穷级数方法，他在接触西方微积分之前（1850 年代前）已形成，并非受西方影响。MacTutor 评价："他不追随西方数学的风格，而是让自己的研究自然地从中国数学的根基上发展出来。"局限性：未形成系统的微分学与一般的微积分基本定理，仍停留在特殊函数的级数求积。

3. 合译《代微积拾级》——微积分首次系统进入中国。 背景：1859 年，李善兰与伟烈亚力据美国数学家 Elias Loomis 1851 年在纽约出版的《Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus》译出《代微积拾级》并出版，这是第一部把牛顿—莱布尼茨微积分系统介绍到中国的书。译序中说："代微积之理虽首次置于华人之前……中国学子中已有为数不少者欣然接受西方科学之教导。"意义：此书使解析几何与微分、积分学正式进入中国，标志着中国高等数学教育的开端；在同文馆，学生第四年即学习微积分。李善兰在翻译中创造了沿用至今的术语：微分、积分、微积分、函数、级数、无穷、代数、方程、常数、变数、未知数、单项式、多项式、指数、抛物线、双曲线、切线、法线、曲率等。

4. 续译《几何原本》后九卷与西方数学的系统引入。 关键贡献：1857 年，他与伟烈亚力据伊萨克·巴罗（Isaac Barrow）的版本译出了欧几里得《几何原本》的后九卷，补上了徐光启、利玛窦 1607 年只译前六卷的缺憾，使完整的《几何原本》首次有了中文全译本。此外他还译有：德摩根（De Morgan）《代数学》；与艾约瑟译惠威尔（Whewell）《重学》（1867 出版，首次把牛顿力学引入中国）；与韦廉臣、艾约瑟译林德利（Lindley）《植物学》（1858）；与伟烈亚力译赫歇尔（Herschel）《谈天》（《天文学纲要》，并为小行星命名了中文名称）。他的翻译工作覆盖面横跨数学、力学、天文、植物，是 19 世纪西学中译的核心人物之一。

5. 垛积理论与高阶组合恒等式的深化。 《垛积比类》四章系统发展了自沈括、杨辉、朱世杰以来的"垛积"（高阶等差级数求和）传统：第一章论三角垛，第二章论有限幂级数，第三章论三角自乘垛（含李善兰恒等式），第四章论变三角垛。书中给出了把前 $n$ 个正整数的 $p$ 次幂之和表示为二项式系数之和的方法，并运用了推广的帕斯卡三角，关联到斯特林数、欧拉数等现代组合对象。MacTutor 与 Martzloff 均指出这一章的公式"令人惊叹"，是中国传统垛积术的最高成就。

6. 对数的幂级数展开与素数研究。 在《对数探源》中，李善兰独立给出了对数的幂级数展开方法，与西方结果一致而路径不同。1872 年发表《考数根法》，是中国数学史上第一篇专门研究素数（"数根"）的论文：他提出了四种判别素数的方法，并证明了费马小定理的逆命题不成立（即存在满足 $a^{n-1}\equiv 1 \pmod n$ 但 $n$ 并非素数的伪素数），这与西方同时代对伪素数的认识相当。

7. 同文馆的数学教育。 1869 年起任京师同文馆数学教习十余年。同文馆设八年制（外语+西学）与五年制（中国传统数学+欧洲科学）两种课程，后者第一年学《九章算术》，第四年已学微积分。李善兰培养了中国第一代近代数学与科学师资，其门下有不少后来的知名学者。

四、代表著作与文献

五、师承、学派与同时代交往

六、争议、公案与历史评价

七、身后影响与学术谱系

八、延伸阅读与权威来源