李冶（Li Ye / Li Zhi，字仁卿，号敬斋）

金元之际的数学家，《测圆海镜》（1248）的作者；他是现存文献中最早系统阐述「天元术」的人——用一个未知数列写并求解高次多项式方程，使中国古代半符号代数达到高峰，同时把直角三角形与内切圆的几何关系整理为 170 问、近七百条公式的宏大体系。

一、生平与时代背景

李冶（1192—1279），真定栾城（今河北栾城）人，字仁卿，号敬斋。其西文有 Li Chih、Li Yeh 等拼法。他原名「李治」，后改为「李冶」——MacTutor 认为是因与唐高宗李治同名而改，但其改名的具体缘由与时间学界说法不一，存疑。这也是他在文献中同时作「李治」「李冶」的原因。

李冶出生的 1192 年，正值女真族金朝定都大兴府（今北京）的那一年。其父李遹（MacTutor 作 Li Yu）是金朝官员，曾任女真将领胡沙虎的幕僚。李冶少年时只身前往河北元氏求学，研习经史算学。1230 年在洛阳参加金朝科举，登进士第，被任命为高陵主簿，因蒙古军进逼未能到任，旋即改任钧州（今河南禹州）知州。

1232 年（开兴元年），钧州陷于蒙古，李冶在战乱中险些被屠杀，幸得一位已降蒙古的女真官员相救脱险。此后他流落山西忻、崞一带（今忻州、原平），隐居长达十余年，生活贫困，却在此期间完成了毕生最重要的数学著作《测圆海镜》（1248）。约 1251 年经济状况好转，他回到河北，定居于元氏封龙山下，收徒讲学。

1257 年，忽必烈（后为元世祖）慕其名召至藩邸，询问治国之道与科举取士之法，李冶对以「立法度、正纪纲」；忽必烈又因他精通天文地理，请他解释地震成因。1260 年忽必烈即位，1261 年授李冶官职，他以老病辞；1264 年元朝设翰林学士院，李冶被召为翰林学士、知制诰同修国史，就职仅一个多月即再次以老病辞官，归隐封龙山。晚年从学者甚众，1279 年卒于封龙山——恰是南宋灭亡、元朝统一全国的同年。

李冶临终前命其子焚毁自己所有著作，仅留《测圆海镜》，因为这是他唯一自许的作品；所幸除《测圆海镜》《益古演段》外，其诗文笔记《敬斋集》等也流传了下来。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 天元术：现存最早的系统半符号列方程法

「天元术」（tian yuan shu，西方称「coefficient array method」或「method of the celestial unknown」）是中国古代用单一未知数列写多项式方程的半符号方法。李冶的《测圆海镜》是现存最早系统运用天元术的著作，但此法在他之前应已在金代算家中流传（可能源自蒋周等人），其确切发明者已不可考。

天元术的做法：设所求量为「天元一」（相当于 $x$），把方程各项系数布列为筹式数组：常数项居中（标「太」），$x$ 的系数在其上，$x^2$ 在 $x$ 之上，依此升幂向上排列；$x$ 的负幂（$x^{-1},x^{-2}$）则列于常数项之下。负数、小数均允许，并用斜杠表示负数。这样一个任意次多项式方程即可简洁表示。

关键特点（据 Martzloff 概括）：李冶只讲如何「布列/构造」方程，从不讲如何「求解」，也不定义什么是方程、未知数、负数——他是「通过使用来演示代数」。求解时他把首项系数化为 $-1$ 后直接给出根，所用数值方法应与贾宪、秦九韶的增乘开方/正负开方术（即西方鲁菲尼–霍纳法）相同，但他书中省略了演算步骤。

局限：天元术只用一个未知数，不能处理多元高次方程组（多元情形要等朱世杰「四元术」）；且纯用位置表示，抽象程度仍不及后来韦达的符号代数。

2. 《测圆海镜》：勾股容圆的系统几何学（170 问 + 692 公式）

《测圆海镜》是一部极其独特的著作。全书仅一幅图：一个圆内切于直角三角形（按中国古制，南在上、北在下、东在左、西在右，圆形象征一座圆形城池）。第 2—12 卷的全部 170 个问题都围绕这同一个图展开，每个问题给出某些线段长度，求城径（圆的直径）等未知量。

第 1 卷分三部分：（1）列出图中各线段的名称；（2）给出所有线段的数值（等于给出全部题目的答案）；（3）给出692 条公式（「识别杂记」），描述直角三角形与内切圆所生各线段、面积之间的关系。这并非现代意义的几何证明书，而是一个高度系统化的几何关系库 + 天元术应用题集。

例如卷 11 第 18 问：「南门正南方 135 步处有一树；若出北门走 15 步，再向东转走 208 步，则树恰进入视线。求城径。」李冶布列并求解四次方程

$$-4x^4-600x^3-22500x^2+11681280x+788486400=0,$$

得城径 $x=120$ 步。值得注意的是，他对另一问题布列的四次方程中含因子 $(x+16)$，因解不能为负（$x=-16$ 舍去），便降为三次方程求解——显示出对方程次数与根的取舍的清晰意识。

3. 《益古演段》：普及天元术，兼存古法

《益古演段》（1259）是一部更初等、通俗的著作，共 64 问，其中 21 问采自更早的平阳（今山西临汾）蒋周所著算书（蒋周生平不详）。其主题是二次方程的布列与求解，用于田亩面积等问题。

该书的独特价值在于：它同时展示了两种方法——一部分用新的天元术，另一部分用旧的「条段法」（以几何图形割补来推导方程的古法，早于天元术）。这使中算史家得以直观比较新旧两种代数方法，是研究天元术如何取代条段法的关键史料。

例如首问：「正方形田中央有一圆形池塘，塘距田边 20 步，陆地面积为 13.75 亩（= 3300 平方步）。求田边长与塘径。」取 $\pi=3$（李冶明确说此处用 3 是为取整便算，非不知更精确值；他在别处亦用 $\frac{22}{7}$ 与 3.14），列方程 $-0.25x^2-80x+1700=0$，得塘径 20 步、田边 60 步。

四、代表著作与文献

• 《测圆海镜》十二卷（1248）：李冶的代表作，系统运用天元术，集直角三角形与内切圆几何关系之大成；170 问、692 条「识别杂记」公式。清《四库全书》收录。
• 《益古演段》三卷（1259）：通俗入门书，64 问，兼用天元术与条段法，保存了古法的珍贵对照。
• 《敬斋集》：诗文笔记，含非数学著作，传世（具体卷帙与内容各本著录不一）。

五、师承、学派与同时代交往

• 师承：李冶的直接数学老师无明确记载；天元术在他之前已有流传（可能源自金代蒋周等算家），他是集大成者。
• 同时代人：与秦九韶、杨辉大致同时，三人并称「宋元数学四大家」（另一位是稍晚的朱世杰）。但李冶主要活动于北方（金、元统治区），秦、杨在南方南宋，三人是否相互知晓、有无交流，史无明文，很可能各自独立发展。
• 政治交往：受忽必烈礼遇，对以「立法度、正纪纲」；晚年从学者众多，形成封龙山讲学传统。
• 传承：天元术经李冶总结后，为朱世杰「四元术」（多元高次方程组）奠定了基础；其「高次幂在常数项之上」的布列次序，与朱世杰《四元玉鉴》相反，反映了天元术记号的演变。

六、争议、公案与历史评价

• 名字「治」与「冶」：李冶原名「李治」，后改「李冶」，改名缘由（避讳唐高宗？）学界无定论，文献中两名并存，易与女诗人李冶（唐）混淆。
• 天元术的发明权：李冶是现存最早系统阐述者，但并非发明者；其前史（蒋周等）史料不足，起源存疑。
• 《测圆海镜》的「难懂」：该书在元明两代长期被视为艰深，少有人能通，直到清代才被重新研究；《益古演段》正是时人觉得《测圆海镜》太难而促使李冶写的入门书（多数学者认为如此）。
• 常见误传：把李冶说成「天元术的发明者」——准确地说，他是现存最早系统总结并高水平运用天元术的人，但此法前已有之。

七、身后影响与学术谱系

李冶是中国半符号代数发展的关键节点。其天元术把「设未知数→列方程→解方程」的代数思维从几何条段法中解放出来，使中国古代能处理任意次多项式方程；其后朱世杰发展出「四元术」处理多元方程组，是这条谱系的高峰。《测圆海镜》系统整理的勾股容圆几何关系（692 条公式），是中世纪最庞大的初等几何定理集合之一。

在教育史上，《益古演段》体现了李冶「由浅入深、新旧对照」的教学思想，影响了后世算学启蒙书的编写。到清代，《测圆海镜》被重新发掘，成为中算复兴与中西数学比较的重要文本。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor: Li Zhi (1192—1279)：圣安德鲁斯大学权威传记，含天元术记号说明、《测圆海镜》结构与多个算例。
• 李冶 - 国学大师历史百科：中文权威人物条目，确认字仁卿、号敬斋、本名治、钧州、封龙山等生平节点。
• 测圆海镜 - 百科：对《测圆海镜》结构、天元术引入（第 14 问起）与布列次序的中文解说。
• 新元史·列传·李冶第六十八 - 古文岛：正史传记原文，含忽必烈征召、翰林学士等记载。
• Dictionary of Scientific Biography: Li Zhi (Peng-Yoke Ho 撰，经 MacTutor)：经典科学传记词典条目。
• L Y Lam & T S Ang, "Li Ye and his Yi gu yan duan", Archive for History of Exact Sciences 29(3), 1984, 237–266：《益古演段》的现代研究，含新旧方法比较。
• J-C Martzloff, A History of Chinese Mathematics (Springer, 1997)：中算通史，含对李冶天元术「只构造不求解」特征的精到概括。