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几何算术代数

刘徽（Liu Hui）

中国数学史上最伟大的数学家之一，第一个为《九章算术》的算法提供系统性原理与证明的人，其割圆术的极限思想、重差术的测量方法与正负数运算，领先世界同类成果数百至千年。

一、生平与时代背景

刘徽约生活于公元 3 世纪（三国魏至西晋）。生平史料极少，正史无传，其信息几乎全部来自自己著作的序文与后世追述：

刘徽的唯一精确系年来自后世记载：他于魏景元四年（263 年）完成《九章算术注》。但 MacTutor 指出，刘徽本人并未在注中署明此年，这一年份是后世文献所系，故「严格来说亦未完全确认」。除注《九章》外，他还著有《海岛算经》（原为《九章注》第九章的附录，后被李淳风等抽出独立成书）。

时代背景：东汉（约前 202—220）末年至三国，《九章算术》已成为中国数学的核心教科书，但原书只给算法「术」而不给证明。刘徽的历史使命，正是在注释中为这些算法补上原理与论证，把中国数学从「实用算法汇编」推向「有理论支撑的体系」。他在序中提到秦始皇焚书（前 213）后，张苍、耿寿昌在汉初（约前 170）整理《九章》的传说——现代史家多认为《九章》实际成书约在公元前 2 世纪至公元 1 世纪间，刘徽「起于西周」的判断偏早。

二、学术生涯年表

年份 事件
约 225 年 出生（存疑；MacTutor 作约 220 年，英文维基作约 225 年），三国魏地
约 3 世纪中 「幼习《九章》，长再详览」，精研汉代数学经典
263 年 完成《九章算术注》（魏景元四年；年份见后世记载，本人未署）
263 年前后 著《海岛算经》（初为《九章注》第九章附录）
约 263 年 用割圆术算 π，得 3.14（96 边形）与 3.14159（3072 边形）
约 280 年 西晋统一；可能仍在世，晚年情形无考
约 295 年 逝世（存疑；MacTutor 作约 280 年，英文维基作约 295 年）
7 世纪 李淳风等将《九章注》与《海岛算经》校订，列入《算经十书》
20 世纪 郭书春等完成《九章算术》法文全译（1985 起，历时约 20 年）

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 割圆术与极限思想——计算 π

问题背景：《九章算术》用「周三径一」（$\pi=3$），过于粗疏。刘徽在第一章「方田」圆田术注中，发明用圆内接正多边形逼近圆周的方法。

关键思想：从圆内接正六边形出发，边数逐次加倍（$3\times 2^n$ 边形），边长越短，多边形周长越接近圆周长。他给出了极限思想的明确表述：

「割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。」

精确递推：设 $p_{n-1}$ 为内接正 $3\times2^{n-1}$ 边形的边长，圆半径 $r=1$，则正 $3\times2^n$ 边形的边长为： $$p_n = \sqrt{r\bigl[2r - \sqrt{4r^2 - p_{n-1}^2}\bigr]}.$$ 由此递推： - $n=5$（96 边形）：$\pi \approx \tfrac{1}{2}N p_n = 3.1410$，取实用值 157/50 = 3.14（「徽率」）； - $n=10$（3072 边形）：$\pi \approx 3.14159$。

与前人关系：与阿基米德（前 3 世纪）用内接与外切双侧逼近不同，刘徽只用内接多边形，但通过「以一面乘半径」的面积论证，实际上也得到了误差界。他还证明了「半周乘半径得圆积」（$S=\tfrac{1}{2}Cr$），即圆面积公式。

局限性：受算筹计算限制，刘徽止于 3072 边；约两百年后祖冲之沿其法算至 24576 边，得 3.1415926–3.1415927。

2. 《海岛算经》与重差术——不可达目标的测量

问题背景：测量海岛、山峰、城邑等不可直接到达目标的高度与距离。刘徽把《九章》勾股章的测望方法发展为系统的「重差术」（两次或多次测望），写成《海岛算经》9 问。

典型问题（第一问「望海岛」）：两根高 $h$ 的表杆相距 $d$，从两杆后退 $P_1X$、$P_2Y$ 步处望岛峰，恰与杆顶共线。刘徽给出： $$\text{岛高} = h\cdot\frac{d}{P_2Y - P_1X} + h, \qquad \text{岛距（距前杆）} = P_1X\cdot\frac{d}{P_2Y - P_1X}.$$ 书中数据解得岛高 1255 步、距 30750 步（1 步约 2 米）。

意义：这是类似三角测量的方法，用相似直角三角形与勾股定理，不依赖角度与三角函数，全部由长度比率完成。9 个问题涵盖测树高、城邑大小、谷深、河宽等，是中国古代测量学的最高成就之一。

3. 正负数的定义与运算法则

问题背景：《九章》方程章（线性方程组）的消元过程中会出现「以少减多」的情形，需要负数。刘徽在注中首次明确给出正负数的定义与加减法则：

「今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以邪正为异。」

并给出运算法则：「同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之」（即同号相减、异号相加、零减正得负、零减负得正等）。

与前人关系：这是世界上最早的正负数系统论述之一，比印度 Brahmagupta（7 世纪）系统使用负数早约四百年。

4. 方程术（线性方程组消元）

《九章》方程章已用「方程术」解联立线性方程组（系数布成「方阵」，即今增广矩阵的列形式，再「遍乘直除」消元），刘徽在注中完善并论证了这一方法。该法本质即高斯消元法，但比高斯（19 世纪初）早约 1600 年。问题规模可达「五、六个方程、六七个未知数」。

5. 十进分数（小数先驱）与「微数」

刘徽在开方不尽时，提出继续退位开方，得到以长度单位表示的十进分数：把 1.355 尺表示为「1 尺 3 寸 5 分 5 厘」（1 尺=10 寸=100 分=1000 厘）。他称退位后得到的小数部分为「微数」，这是十进小数概念的先驱。真正脱离单位名称的纯小数记号，要到唐代韩延、南宋杨辉才成熟。

6. 体积理论与「牟合方盖」（未竟之业）

问题背景：《九章》少广章给出的球体积公式 $V=\tfrac{\pi}{6}d^3$（取 $\pi=3$ 时为 $d^3/2$）是错的。刘徽构造了一个关键立体——牟合方盖（两正交等径圆柱的相交体），并证明： $$\frac{V_{\text{球}}}{V_{\text{牟合方盖}}} = \frac{\pi}{4}.$$ 因此只要求出牟合方盖的体积，即可得球体积。但刘徽未能求出牟合方盖的体积，他谦逊地写道：

「以俟能言者。」（把问题留给能解决它的人）

后续：约两百年后，祖冲之、祖暅父子以「祖暅原理」完成了刘徽未竟的工作，得到正确的球体积公式。刘徽还在第五章「商功」中证明了阳马（四棱锥）、鳖臑（四面体）等的体积公式，触及不可分量与极限思想。

四、代表著作与文献

五、师承、学派与同时代交往

刘徽的师承无明确记载。从其序文看，他上承张苍、耿寿昌整理的《九章》传统，自述学习来自经典文本而非师门。与他大致同时的赵爽（东吴）独立地以弦图证明勾股定理，两人方法不同（刘徽用「出入相补」），似无直接交往。他与地图学家裴秀（224—271）同时，裴秀的「制图六体」含比例与测量思想，但两人是否交流无史料可证。

六、争议、公案与历史评价

  1. 生卒年两说：MacTutor 定约 220—280，英文维基定约 225—295，皆为约数，标存疑。
  2. 263 年注书年份：见载于后世，刘徽本人未署，MacTutor 指出「未完全确认」，但学界普遍接受。
  3. π = 3.1416 的归属：部分文献将 3.1416 归于刘徽。严格说，刘徽割圆至 3072 边得 3.14159（约 3.1416）；他在实用中取「徽率」157/50=3.14。3.1416 更可能是后人的四舍五入或进一步推算，不宜简单说刘徽算到 3.1416。
  4. 淄乡侯后裔：英文维基引述，但不见于当时史料，标存疑。
  5. 历史评价：刘徽的证明意识与严谨性在中国古代数学中「独树一帜」，被李约瑟等学者誉为「中国古代最伟大的数学家」；其极限、不可分量思想虽未发展出完整微积分，却领先西方同类思想千年。

七、身后影响与学术谱系

八、延伸阅读与权威来源