洛伦佐·马斯凯罗尼（Lorenzo Mascheroni）

18 世纪意大利几何学家与诗人——他用一本《圆规几何学》证明直尺在作图中是多余的，又在对数论常数的精密计算中留下自己的名字；其生涯横跨意大利与革命中的法国，最终客死巴黎。

一、生平与时代背景

洛伦佐·马斯凯罗尼于 1750 年 5 月 13 日生于意大利伦巴第贝加莫（Bergamo）附近的卡斯塔涅塔（Castagneta）。父亲保罗·马斯凯罗尼·德尔奥尔莫（Paolo Mascheroni dell'Olmo）是富裕的地主/商人，母亲玛丽亚·奇里贝利（Maria Ciribelli）。他在贝加莫的神学院接受教育，按培养神职人员的目标成长，17 岁（约 1767 年）受神职；但 Wikipedia 有来源记其受神职年份为 1774 年（与「17 岁」不符，应系传抄之异），年份存疑。他早年热衷用意大利语与拉丁语进行文学写作，后兴趣日益转向科学、尤其是数学。

他起初在贝加莫的神学院教授修辞学，1778 年起改授物理与数学。1785 年出版静力学著作《关于穹顶平衡的新研究》（Nuove ricerche su l'equilibrio delle volte），凭此实力于 1786 年出任帕维亚大学（University of Pavia）代数与几何教授（接替彼得罗·保利 Pietro Paoli）。1789 年他成为该校校长，任职四年；1788—1791 年还领导「Affidati 学院」（Accademia degli Affidati）。

1790 与 1792 年，他先后发表两卷《对欧拉积分演算的注释》（Adnotationes ad calculum integralem Euleri），其中把欧拉常数 γ 计算到 32 位小数——但前 19 位正确，第 20 位起出错（第 20—22 与第 31—32 位有误），剩余部分由德国数学家约翰·格奥尔格·冯·佐尔德纳（Johann Georg von Soldner）于 1809 年订正。尽管有计算错误，此书显示了他对欧拉分析的深刻理解，该常数也因他的工作而被称为「欧拉—马斯凯罗尼常数」。

马斯凯罗尼还是一位诗人。1794 年出版非数学作品《致莱斯比亚·奇多尼亚的邀请》（Invito a Lesbia Cidonia）；1797 年的《圆规几何学》（Geometria del compasso）则以诗句题献给拿破仑·波拿巴。他身为神父却同情法国大革命的理想，1796—1799 年积极支持入侵意大利的法军，并在山南共和国（Cisalpine Republic，法国的姊妹共和国）政府中扮演重要角色。拿破仑本人认识并赏识他，曾推动其著作进入法国学界视野。

1797 年，他受邀赴巴黎，参与创建公制的国际委员会（此时法国已于 1795 年 4 月 7 日通过法律确立公制，由勒让德主持过渡）。在巴黎期间，他在多所学校任教，结识了拉格朗日、拉普拉斯与蒙日；1799 年数学家兼物理学家博尔达（de Borda）去世时，他作拉丁文悼诗以纪念。1799 年，第二次反法同盟战争爆发，奥地利与俄国军队进占米兰，马斯凯罗尼无法返回意大利，遂滞留巴黎。1800 年 7 月 14 日，他因一场感冒引发并发症、经短暂 illness 后卒于巴黎，享年 50 岁。他的友人、诗人温琴佐·蒙蒂（Vincenzo Monti）为他作悼诗《悼洛伦佐·马斯凯罗尼》（三章，1801 年出版）。

他曾获选为帕多瓦伽利略学院（Accademia Galileiana）、曼托瓦皇家科学与文学学院、意大利科学学会（Società Italiana delle Scienze）成员。主带小行星 27922 号以他命名。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 圆规几何学与 Mohr–Mascheroni 定理（1797）

问题背景：古希腊几何作图以「尺规」（直尺 + 圆规）为工具。自然的问题：能否只用其中一种工具完成所有作图？只用直尺显然不够（无法取长度），那么只用圆规够吗？

关键思想：在《圆规几何学》（Geometria del compasso，帕维亚，1797）中，马斯凯罗尼证明：任何能用尺规完成的作图，都能仅用圆规完成——直尺是可以被消去的冗余工具。其策略是把直尺能做的基本操作逐一用圆规模拟。

精确表述：他用圆规单独演示了以下基本作图： - 等分一给定圆弧； - 加、减给定线段； - 求三条给定线段的第四比例项； - 求两条给定直线的交点（直线由其上两点确定）； - 求一给定直线与一给定圆的交点。

由于尺规作图可归结为反复执行「过两点作直线」「以一点为心过另一点作圆」「求直线与圆、圆与圆的交点」，而「直线」可由其上两点表示、其交点可用上述方法求得，故所有尺规作图均可仅用圆规完成。此书还给出一批实用的精密仪器作图法。

与前人关系：这一结果早在 1672 年就由丹麦数学家格奥尔格·莫尔（Georg Mohr）在一本冷僻的书《丹麦的欧几里得》（Euclides Danicus）中证明过，但该书被欧洲数学界完全遗忘，马斯凯罗尼（与整个科学界一样）并不知晓。莫尔的书直到 1928 年才由耶尔姆斯莱夫（Hjelmslev）在哥本哈根一家书店重新发现。因此该定理今称 Mohr–Mascheroni 定理，两人共享荣誉；马斯凯罗尼的独立证明与系统阐述使其广为流传，该书随即被译为法语（1798，Carette 译）与德语（1825，Gruson 译）。

与「拿破仑问题」的关系：书中包含一个以拿破仑命名的作图问题——拿破仑问题：仅用圆规把一个圆周四等分。马斯凯罗尼给出了解法；数学史家霍华德·伊夫斯（Howard Eves）甚至认为，「拿破仑定理」与「拿破仑问题」本都是马斯凯罗尼发现、让皇帝署名的——此说出自伊夫斯，属学界转述，非确证，存疑。

意义：这是几何作图理论中的著名结果，推动了后来对作图工具的最小性研究（如只用直尺、生锈圆规等）。

2. 欧拉—马斯凯罗尼常数 γ 的计算（1790—1792）

问题背景：调和级数 $H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ 发散，但其与 $\log n$ 的差趋于一个有限常数。欧拉 1734—1735 年引入此常数并算到约 15 位。

关键思想与精确表述：该常数今记作 $\gamma$，定义为

$$\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(H_n-\log n\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\right)\approx 0.577215664901532860606512090082\ldots$$

马斯凯罗尼在《对欧拉积分演算的注释》中修正并推进了欧拉的计算，试图算到 32 位小数。他的结果前 19 位正确，第 20 位起出错：他写出的数字中第 20—22 位为「…181…」、第 31—32 位为「…39」，而正确值应为「…065…」与「…40」。1809 年佐尔德纳予以订正。

与前人关系：欧拉发现并先算了若干位；马斯凯罗尼大幅推进了精度并系统整理，故常数得名「欧拉—马斯凯罗尼常数」（Euler–Mascheroni constant）。其《注释》后被收入欧拉《全集》（Opera Omnia）作为附录重印。

开放性：直至今日，$\gamma$ 是否为无理数、是否为超越数仍属未解决问题（与 $\pi$、$e$ 不同），是分析中最著名的开放性问题之一。

3. 穹顶静力学与结构力学（1785）

问题背景：18 世纪建筑工程需要分析石拱与穹顶的平衡，以判断其稳定性。

关键思想：在《关于穹顶平衡的新研究》（1785）中，马斯凯罗尼把力学分析应用于穹顶结构，研究其平衡条件。此书虽非他最知名的工作，却是他获得帕维亚大学教授职位的主要依据，也反映了 18 世纪意大利力学与工程结合的传统（结构力学史家 Benvenuto 曾专门讨论其贡献）。

四、代表著作与文献

• 《关于穹顶平衡的新研究》（Nuove ricerche su l'equilibrio delle volte，贝加莫，1785）：静力学与结构力学著作，使其获任帕维亚大学教授。
• 《对欧拉积分演算的注释》（Adnotationes ad calculum integralem Euleri，帕维亚，第 1 卷 1790、第 2 卷 1792）：推进欧拉常数 γ 的计算；后收入欧拉《全集》附录。
• 《圆规几何学》（Geometria del compasso，帕维亚，1797）：证明一切尺规作图可仅用圆规完成（Mohr–Mascheroni 定理）；题诗献拿破仑。有法译本（1798）、德译本（1825）。
• 《致莱斯比亚·奇多尼亚的邀请》（Invito a Lesbia Cidonia，帕维亚，1794）：诗作，非数学作品。
• 博尔达悼诗（1799，拉丁文，未单独成册）。

五、师承、学派与同时代交往

• 师承：在贝加莫神学院受教育，无明确数学导师；自学欧拉的分析著作，自视为欧拉的追随者。
• 学派归属：18 世纪意大利北部（伦巴第）数学与力学传统；其几何作图工作上接意大利文艺复兴以来的作图传统，下启 19 世纪作图理论。
• 同时代交往：
• 彼得罗·保利（Pietro Paoli）：帕维亚大学前任教授，马斯凯罗尼接替其职位。
• 拿破仑·波拿巴：赏识其工作，马斯凯罗尼将《圆规几何学》题献给他；二人有「拿破仑问题/定理」归属的关联（存疑）。
• 拉格朗日、拉普拉斯、蒙日：1797 年赴巴黎后结识的法国数学家。
• 勒让德：公制过渡的主持人，马斯凯罗尼赴巴黎研究公制时有所交集。
• 博尔达（Jean-Charles de Borda）：法国数学家/物理学家，马斯凯罗尼为其作悼诗。
• 温琴佐·蒙蒂（Vincenzo Monti）：诗人友人，为其作悼诗。
• 格奥尔格·莫尔（Georg Mohr）：丹麦数学家，1672 年先证同一作图定理（未知于马斯凯罗尼）。
• 后世学者：佐尔德纳（订正 γ 计算）、耶尔姆斯莱夫（重新发现莫尔著作）、伊夫斯（转述其与拿破仑的关联）。

六、争议、公案与历史评价

• 莫尔优先权 / 命名：圆规作图定理由莫尔 1672 年首证，但其书被遗忘；马斯凯罗尼 1797 年独立证明并使之流传。1928 年莫尔著作重见天日后，定理改称 Mohr–Mascheroni 定理，二人共享。MacTutor 认为两人方法迥异、马斯凯罗尼不可能知晓莫尔工作，故「双方应得同等荣誉」。
• γ 计算错误：马斯凯罗尼算到 32 位但第 20 位起有误，1809 年由佐尔德纳订正。错误不掩其贡献，常数仍以他命名。
• 「拿破仑问题/定理」归属：伊夫斯称这些实为马斯凯罗尼发现、让皇帝署名——此为转述，非确证，存疑；但「拿破仑问题」（仅用圆规四等分圆）确出自其《圆规几何学》。
• 神职与革命：身为神父却热烈支持法国大革命与法军，这在当时的意大利知识界并非孤例，反映了启蒙运动的影响。
• 历史评价：马斯凯罗尼是一位多才多艺的学者——几何学家、分析学家、诗人与公民。其圆规作图定理是几何基础中的经典结果，γ 常数的命名是对数论常数精密计算传统的纪念。他的生涯因战乱中断、客死异乡，是 18—19 世纪之交意大利数学家向法国迁移浪潮中的一员（见 Pepe 等的研究）。

七、身后影响与学术谱系

• 对几何作图理论：Mohr–Mascheroni 定理是作图工具研究的里程碑，启发了对「单工具作图」（单直尺、生锈圆规、折纸等）的系统研究，也影响了后来的几何基础与可构造性理论。
• 对数论与分析：欧拉—马斯凯罗尼常数 γ 是分析中最重要的常数之一，出现在数论（素数分布、黎曼 ζ 函数）、统计与特殊函数中；其无理性至今未解，持续推动研究。
• 对结构力学：其穹顶平衡研究为 19 世纪结构力学的发展提供了早期分析范例。
• 文化影响：作为诗人数学家，他体现了 18 世纪意大利「科学与文学兼修」的启蒙理想；小行星 27922 号以他命名。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor 数学史档案：Lorenzo Mascheroni：圣安德鲁斯大学权威传记，本档案主要史实出处。
• Dictionary of Scientific Biography — Mascheroni (MacTutor 托管)：科学传记词典条目（A. Seidenberg 撰）。
• Wikipedia: Lorenzo Mascheroni：生平、著作与 γ 计算错误细节交叉核对。
• Wikipedia: Mohr–Mascheroni theorem：圆规作图定理的内容与莫尔优先权。
• Wikipedia: Euler–Mascheroni constant：γ 常数的定义、历史与未解决的无理性问题。
• Wikipedia: Georg Mohr：丹麦数学家莫尔及其被遗忘的 1672 年证明。
• Treccani 意大利传记词典：Lorenzo Mascheroni（Luigi Pepe 撰）：意大利权威传记来源。
• Heinz Klaus Strick 传记（MacTutor 托管，德语）：补充生平细节。