卢卡·帕乔利（Fra Luca Bartolomeo de Pacioli）

欧洲印刷时代第一部数学百科全书的作者，把复式记账法系统著于典籍而被尊为"会计学之父"，又与达·芬奇合著《神圣比例》——他本人虽罕有原创定理，却是文艺复兴数学知识传播与整理的枢纽。

一、生平与时代背景

卢卡·帕乔利约生于 1445 年（一说约 1447 年，学界有小异），意大利中部小城圣塞波尔克罗（Sansepolcro，今圣塞波尔克罗）人，距佩鲁贾以北约 60 公里。父亲是 Bartolomeo Pacioli，但他似乎并非在父母家长大，而是自幼寄养于当地的 Befolci 家。这座商业小城的重要之处在于：画家兼数学家 皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡（Piero della Francesca）在此设有工作室，常居此地。帕乔利对皮耶罗著作的熟稔、其作品深受皮耶罗影响，使学界推测他至少部分受教育于皮耶罗的工作室——此说可能性很大，但无确证，标为存疑。

帕乔利少年时离开家乡前往威尼斯，受雇于富商 Antonio Rompiasi（家住朱代卡区），担任其三个儿子的家庭教师。他显然已在圣塞波尔克罗受过良好的基础数学教育，借此机会又在 Domenico Bragadino 门下深造高等数学；同时从家教中积累了教学经验，从帮办 Rompiasi 的事务中熟悉了商业。在威尼斯期间他写出第一部著作——一部献给雇主三子的算术书，约 1470 年（可能即 Rompiasi 去世那年）完成。

随后他前往罗马，在教皇公署秘书 莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂（Leon Battista Alberti）家中住了数月。阿尔贝蒂既是优秀学者、数学家，又为他提供了良好的宗教关系；此间帕乔利研习神学，数年内成为方济各会修士（Fra）。

1477 年起他开始辗转各大学讲授数学（尤其算术）：1477—1480 年在佩鲁贾大学，写了第二部算术教科书（只有这部流传至今）；在扎拉（Zara，今克罗地亚扎达尔，当时属威尼斯帝国）写了第三部；三部算术书均未出版。此后又回到佩鲁贾、那不勒斯、罗马任教。期间结识乌尔比诺公爵——教皇西斯都四世 1474 年封 Federico da Montefeltro 为乌尔比诺公爵，帕乔利似乎曾任其子 Guidobaldo（Federico 1482 年去世后成为末代蒙特费尔特罗统治者）的家庭教师。乌尔比诺宫廷是当时著名的文化中心。

1489 年，在罗马两年后他返回家乡圣塞波尔克罗，但并不顺遂：他获教皇授予的一些特权，引起当地修会人士的嫉妒，1491 年被禁止在当地教学；不过嫉妒中夹杂着对其学识的敬重，1493 年又被邀主讲四旬斋布道。正是在圣塞波尔克罗期间，他完成了最著名的《算术、几何、比与比例集成》（Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita），献给 Guidobaldo 公爵；1494 年赴威尼斯出版。

1494 年 Ludovico Sforza 成为米兰公爵，大力赞助艺术家与学者，使米兰成为欧洲最精致的宫廷。1482 年达·芬奇已入 Ludovico 门下。约 1496 年，帕乔利受 Ludovico 之邀赴米兰宫廷教数学（此邀可能出于达·芬奇的热心举荐）。在米兰，帕乔利与达·芬奇迅速结为密友，深入讨论数学与艺术，彼此受益；他开始撰写第二部名著《神圣比例》（Divina proportione），书中插图由达·芬奇绘制——恐怕再无数学家能有如此天才的插画师。

1499 年法军攻入米兰，12 月帕乔利与达·芬奇一同出逃：先至曼托瓦（Mantua，做客于 Isabella d'Este 女侯爵），1500 年 3 月抵威尼斯，再回佛罗伦萨并共住一屋。1500 年帕乔利被聘在佛罗伦萨的比萨大学（该校 1494 年因动乱迁至佛罗伦萨）教几何，任职至 1506 年；1501—1502 年他曾赴博洛大学任教，期间与 希皮奥内·德尔·费罗（Scipione del Ferro）共事——后人多有猜测二人是否讨论了三次方程的代数解法（详见第六节）。

1506 年他入佛罗伦萨圣十字修道院；随后在威尼斯获得其著作十五年的独家出版权。1509 年出版三卷本《神圣比例》以及欧几里得《原本》的拉丁文译注本（基于 13 世纪 Campanus 译本，附大量帕乔利自己的注解）。1510 年回佩鲁贾讲学，1514 年再赴罗马，时年约 70 岁；后返圣塞波尔克罗，1517 年去世，留下一部未刊遗著《论数量之力》（De Viribus Quantitatis），内容涉及趣味数学、几何问题与谚语，频繁提及达·芬奇，许多问题也见于达·芬奇手稿。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 《集成》——欧洲印刷时代第一部数学百科全书。 问题背景：15 世纪末欧洲数学知识散见于手本与 abacus 学校讲义，尚无一部印刷的、面向一般读者的综合性数学著作。关键思想：把当时已知的算术、代数、几何、三角汇编为一部意大利文巨著。精确内容：全书对开本约 600 页密排，含理论与实用算术通论、代数基础、意大利各邦货币/重量/度量衡换算表、复式记账法专论、以及欧几里得几何摘要。帕乔利自己承认大量借用了欧几里得、波爱修斯（Boethius）、萨克罗博斯科（Sacrobosco）、斐波那契等前人成果，不声称原创。与前人的关系：承继斐波那契以来的意大利 abacus 算术传统与欧几里得几何；其价值在于系统化整理与印刷传播，而不在于新定理。局限性：缺乏原创性；代数符号仍为修辞式（syncopated 以前），不便使用。但它"为欧洲此后不久的重大数学进步提供了基础"，直接影响 del Ferro、Tartaglia、Cardano 一代。

2. 复式记账法的系统著述——"会计学之父"。 问题背景：13—14 世纪意大利北部商业城邦（威尼斯、热那亚、佛罗伦萨）已在实践中发展出复式簿记，但尚无系统的书面教材。关键思想：在《集成》中以专章完整描述复式记账的方法——每笔交易在两个或多个账户中以借贷双方等额记录，保证"借方合计 = 贷方合计"的平衡，便于差错核验与经营状况把握。精确内容：详述日记账、分类账、试算平衡等程序。与前人的关系：并非发明者（复式簿记源于意大利商业实践），但他是首个把它系统写成文字、随印刷书籍广泛传播的人，因此被尊为"会计学之父"。局限性：他描述的是当时威尼斯一带的成熟实务，未做理论抽象；但作为知识固化与传播的节点，影响极远。

3. 《神圣比例》与黄金比例在艺术/建筑中的理论化。 问题背景：黄金比例（$a:b = b:(a+b)$，其值 $\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618$）在欧几里得《原本》中已有论述（"中外比"），但文艺复兴艺术家与建筑师需要一部把它与美学、建筑、多面体联系起来的著作。关键思想：帕乔利把黄金比例命名为"神圣比例"，论证其神性与美学完美，并系统讨论其在几何与建筑中的应用。精确内容：1509 年出版的三卷本中，卷一研究黄金比例本身及与之相关的欧几里得定理，还探讨正多边形与半正多边形（以及阿基米德多面体的重现）；卷二论建筑中的比例；卷三是把皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡一部著作译为意大利文。插图由达·芬奇绘制，包括著名的"镂空多面体"（如二十面体、十二面体的线框透视图）。与前人的关系：上承欧几里得与皮耶罗；其把数学比例与艺术美学结合，是文艺复兴"数学与艺术联姻"的典范。局限性：卷三被 Vasari 指控为抄袭皮耶罗（见第六节），但学界多认为属编译整理、且帕乔利注明了来源。

4. 对三次方程可解性的判断（及对后世的反向启发）。 在《集成》中，帕乔利讨论了三次方程求解问题，并断言一般三次方程无解（沿用当时的悲观判断）。具有反讽意味的是：这一断言反而激发了后人去挑战它。1501—1502 年他在博洛尼亚与 del Ferro 共事，del Ferro 正是在《集成》出版（1494）后不久、在帕乔利访问博洛尼亚之后解出了缺二次项的三次方程 $x^3+mx=n$。与前人的关系：他的"无解"论断虽错，却界定了问题、激发了突破。局限性：他本人未给出解法。

5. 其他零散贡献。 他给出用（牛顿法的特例）迭代近似平方根的计算；收集了许多幻方；讨论数论问题（后见于 Bachet 的汇编）；研究"点子问题"（probability of points，博弈中如何公平分配中断的赌局）——但给出的解答是错误的，正确解法要到 17 世纪帕斯卡与费马才给出，这一错误尝试反而成了概率论前史的一部分。

四、代表著作与文献

• 《算术、几何、比与比例集成》（Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita，威尼斯，1494）：对开本约 600 页，欧洲印刷时代第一部数学百科全书，含复式记账法专论；献予 Guidobaldo 公爵。
• 《神圣比例》（De divina proportione，1509，三卷本）：卷一黄金比例与正/半正多边形（达·芬奇绘图），卷二建筑比例，卷三皮耶罗著作的意大利文译本；写于 1497—1498。
• 欧几里得《原本》拉丁文译注本（1509，威尼斯）：基于 Campanus 译本，附大量注解。
• 《论数量之力》（De Viribus Quantitatis，未刊，1517 年卒时留存）：趣味数学、几何问题、谚语汇编，频繁提及达·芬奇。
• 三部早期算术教科书（1470、约 1478、约 1480 年代）：仅佩鲁贾本（第二部）传世，余皆佚。

五、师承、学派与同时代交往

• 可能的老师：皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡（推测他在皮耶罗工作室受教育，存疑）；威尼斯的 Domenico Bragadino（明确的数学老师）；罗马的 莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂（庇护并提供宗教与学术人脉）。
• 密友/合作者：列奥纳多·达·芬奇——米兰结识，共著《神圣比例》、共逃米兰、共住佛罗伦萨，《论数量之力》亦频繁引用他。
• 同时代交往：希皮奥内·德尔·费罗（1501—1502 年博洛尼亚共事）；乌尔比诺公爵 Guidobaldo（赞助人，《集成》献予他）；米兰公爵 Ludovico Sforza（赞助人）。
• 学术上承：欧几里得、斐波那契（Leonardo Pisano）、波爱修斯、萨克罗博斯科、皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡。
• 后世影响者：del Ferro、Tartaglia、Cardano（读其《集成》进入代数）；后世会计学与簿记学；艺术—数学比例研究（达·芬奇、丢勒、开普勒的多面体研究都受其影响）。

六、争议、公案与历史评价

• 抄袭公案（Vasari 指控）：1550 年乔治·瓦萨里（Giorgio Vasari）在其《皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡传》中指控帕乔利剽窃皮耶罗关于透视、算术与几何的成果。现代学界普遍认为此指控不公：帕乔利确实大量依赖前人（尤其皮耶罗），但他从未试图据为己有，而是注明了来源——《神圣比例》卷三本身就是皮耶罗著作的意大利文翻译，属编译性质。本文将此标为后世附会的不公指控。
• 与 del Ferro 是否讨论过三次方程：1501—1502 年他在博洛尼亚与 del Ferro 共事，恰在 del Ferro 解出三次方程前不久；但二人是否讨论了该题，无史料可证，标为存疑。可以确定的是 del Ferro 读过他《集成》中对三次方程的讨论。
• "会计学之父"之名：准确说法是他是首个系统著述并传播复式记账法的人，而非发明者（发明源于意大利商业实践）。
• 历史评价：帕乔利的重要性不在原创定理，而在知识的整理、印刷传播与教育普及——MacTutor 评价其著作"为欧洲此后不久的重大数学进步提供了基础"；他是 abacus 传统向文艺复兴高等数学过渡的关键人物。

七、身后影响与学术谱系

• 代数传承：《集成》把代数知识系统传给下一代，del Ferro、Tartaglia、Cardano 正是在它的基础上实现三次、四次方程的突破——这是帕乔利最深远的间接影响。
• 会计学：复式记账法的书面化使商业核算标准化，随印刷传播到全欧，奠定现代会计学基础，故被尊为"会计学之父"。
• 艺术与数学：《神圣比例》（及达·芬奇的插图）把黄金比例、正多面体与艺术/建筑美学结合，影响丢勒、开普勒的多面体研究，以及文艺复兴—巴洛克的比例理论。
• 数学教育：作为辗转多校的教师与教材作者，推动了算术与几何在意大利大学的制度化教学。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor: Luca Pacioli Biography：圣安德鲁斯大学数学史档案，主要传记来源。
• Dictionary of Scientific Biography: Pacioli (PDF)：权威科学传记（S. A. Jayawardene 撰）。
• Heinz Klaus Strick: Luca Pacioli (PDF)：通俗传记，含《集成》与复式记账解析。
• MacTutor: The Divine Proportion：《神圣比例》内容说明。
• MacTutor: A Napierian logarithm before Napier (Pacioli)：帕乔利计算中的早期对数思想。
• R. Franci & L. Toti Rigatelli, "Towards a history of algebra from Leonardo of Pisa to Luca Pacioli", Janus 72 (1985)：代数史脉络研究。
• J. F. Field, "Rediscovering the Archimedean polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci…", Arch. Hist. Exact Sci. 50 (1997)：多面体重现史。
• Wikipedia: Luca Pacioli：综合条目，交叉核对用。