尼科洛·塔尔塔利亚（Niccolò Fontana，绰号 Tartaglia）

从被法军劈裂下颌的贫困孤儿，到与卡尔达诺掀起数学史上最著名优先权之争的代数家——他独立解出三次方程、把数学引入火炮弹道、把欧几里得与阿基米德译介给意大利，却在贫困与怨恨中死去。

一、生平与时代背景

尼科洛·丰塔纳（Niccolò Fontana），绰号塔尔塔利亚（Tartaglia，意为"口吃者"），1499 或 1500 年生于威尼斯共和国的布雷西亚（Brescia）。父亲 Michele Fontana 人称"骑手米凯莱托"（Micheletto the Rider），是一名诚实的邮差，骑马在布雷西亚与邻镇间递送。家境贫寒，但父亲尽力供养妻子、女儿和两个儿子，尼科洛约 4 岁起上学。然而悲剧在他 6 岁时降临：父亲外出送信时被谋杀，家庭骤然陷入赤贫。

更大的灾难发生在 1512 年（他约 12 岁）：法军攻占布雷西亚并屠城报复。法军由加斯东·德·富瓦（Gaston de Foix）指挥，因遭布雷西亚民兵顽强抵抗而受辱，遂在七天巷战中屠杀了约 46,000 名居民。12 岁的尼科洛与母亲、妹妹躲进大教堂，仍被一名法国士兵用军刀劈中面部，下颌与腭部被切开，他被弃于死人堆中；母亲发现他尚存，却无力求医，仅靠悉心照料让他活了下来。这道毁容的伤疤伴随终生——他从此蓄须遮掩，且说话困难，因而得名"Tartaglia"（口吃者）。

塔尔塔利亚是自学成才的数学家，天赋极高。母亲为他找到赞助人 Ludovico Balbisonio，带他去帕多瓦学习；但回乡后他因自视过高而不受欢迎，遂于 1516—1518 年离开布雷西亚，到维罗纳教数学谋生，后又在维罗纳 Palazzo Mizzanti 的一所学校任教，此时已婚、有子女，却依然清贫。1534 年移居威尼斯，作为一名低微的数学教师，他通过频繁参加公开辩论并屡屡获胜，逐渐赢得"有前途的数学家"的名声。

史上第一个代数解出三次方程的人是 希皮奥内·德尔·费罗，但他秘而不宣，临终才把解法传给学生菲奥尔（Antonio Maria Fior）。菲奥尔只学到一种类型——"物与立方等于数"（$x^3+ax=b$）。菲奥尔开始吹嘘自己能解三次方程，遂于 1535 年向塔尔塔利亚发起公开挑战赛。此前塔尔塔利亚已因朋友 Zuanne da Coi 出的两道题而独立解出另一种类型——"平方与立方等于数"（$x^3+ax^2=b$）。挑战赛规则：各出 30 题，限 40 天解。菲奥尔自信只需三次方程一题就能取胜，给塔尔塔利亚的全是 $x^3+ax=b$ 型；而塔尔塔利亚出的题目类型多样，暴露了菲奥尔充其量只是个平庸数学家。就在开赛之际，1535 年 2 月 13 日凌晨，灵感降临，塔尔塔利亚找到了 $x^3+ax=b$ 的解法，于是不到两小时便解完了菲奥尔的全部 30 题；菲奥尔对塔尔塔利亚的题则几乎一筹莫展。胜负已分，塔尔塔利亚却未领取胜者的奖品——荣誉于他已足够。

此后 吉罗拉莫·卡尔达诺登场。作为米兰 Piatti 基金会的数学公开讲师，他此前相信帕乔利《集成》中"三次方程不可解"的断言；得知挑战赛后大为着迷，试图自行找出塔尔塔利亚的方法而未果。1539 年他通过中间人联系塔尔塔利亚，请求把方法收入他即将出版的书，塔尔塔利亚拒绝（称打算自己写书发表）。卡尔达诺又直接致信，措辞激烈地挑战他辩论，同时暗示已与米兰总督 Alfonso d'Avalos（Marchese del Vasto，卡尔达诺的有权势的赞助人）谈及塔尔塔利亚的才华。塔尔塔利亚意识到结识这位权贵可能带来宫廷美差，态度骤变，回信示好，以求被引荐给侯爵。

1539 年 3 月，塔尔塔利亚赴米兰。总督恰不在，卡尔达诺殷勤款待，话题转到三次方程。经反复劝说，塔尔塔利亚同意告知方法，条件是卡尔达诺发誓永不泄密，且只能用密码写下，以免死后被人从遗稿中发现。卡尔达诺欣然起誓，塔尔塔利亚遂把公式写成一首诗以助保密。拿到引荐信后他离开米兰，旋即返回威尼斯，却开始怀疑自己把公式交出是个错误。回到威尼斯后他确信被骗，对卡尔达诺怒不可遏。同年卡尔达诺出版了两本数学书，塔尔塔利亚赶忙买来检查，见公式未被收入才稍安心，但此后他拒绝卡尔达诺的示好，对其书吹毛求疵、极尽嘲讽。

基于塔尔塔利亚的公式，卡尔达诺与其助手 洛多维科·费拉里取得惊人进展：证明了三次方程的所有情形，并进一步解出了四次方程。塔尔塔利亚却迟迟不发表自己的公式（大概想留作辩论之用）。1543 年，卡尔达诺与费拉里赴博洛尼亚，从纳韦处得知德尔·费罗才是第一个解出三次方程的人（非塔尔塔利亚）。卡尔达诺认为，他虽发誓不泄露塔尔塔利亚的方法，但发表德尔·费罗的公式应无妨。1545 年，《大术》（Ars Magna）出版，刊载了三次与四次方程的全部解法，并在文中归功于德尔·费罗、塔尔塔利亚与费拉里，叙述了事情的来龙去脉。

塔尔塔利亚得知后暴怒，对卡尔达诺的厌恶转为病态的仇恨。次年（1546）他出版《各种问题与发明》（Quesiti et Inventioni diverse），陈述己方立场并加入对卡尔达诺的恶意人身攻击。但《大术》已确立卡尔达诺为当世首屈一指的数学家，攻击未损其分毫；费拉里则写信痛斥塔尔塔利亚并向他发起公开辩论。塔尔塔利亚不愿与尚无名气的费拉里交锋（胜之无益），只想与卡尔达诺对辩；双方互骂通信约一年无果。1548 年，塔尔塔利亚意外获得家乡布雷西亚的一个讲师职位——为证明资历，他被要求赴米兰与费拉里参赛。1548 年 8 月 10 日，比赛在 Frati Zoccolanti 花园教堂举行。塔尔塔利亚经验老到、本以为会赢，但首日结束便知形势不利——费拉里对三次、四次方程的理解更为透彻。塔尔塔利亚当夜便悄然离开米兰，使比赛不了了之，胜利归于费拉里。

这场败仗代价惨重：他在布雷西亚讲课一年后，被告知薪酬不予支付；几经诉讼仍分文未得，终致亏空累累，怀着对卡尔达诺的深仇大恨回到威尼斯重操旧业。1557 年 12 月 13 日，他贫病交加地死于威尼斯里亚托桥（非今桥，今桥建于约 30 年后）附近的 Calle del Sturion 家中。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 三次方程的代数解法（独立再发现，"卡尔达诺—塔尔塔利亚公式"）。 问题背景：德尔·费罗约 1515 年已解出 $x^3+ax=b$，但秘而不宣；塔尔塔利亚在不知德尔·费罗工作的情况下独立得出解法。关键思想：对缺二次项的 $x^3+ax=b$（$a,b>0$），设 $x=\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}$ 的构造（与德尔·费罗等价），得到

$$x=\sqrt[3]{\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}}-\sqrt[3]{-\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}}.$$

对含二次项的 $x^3+ax^2=b$，他通过代换 $x=y-a/3$ 化为缺二次项情形。精确成果：他解出了 $x^3+ax=b$ 与 $x^3+ax^2=b$ 等类型，并把公式写成一首诗（每行以助记）以保守秘密。与前人的关系：独立于德尔·费罗再发现，但发表更晚；优先权归属至今以"卡尔达诺—塔尔塔利亚公式"并称。局限性：未处理不可约情形（三根皆实、根号下为负）——那引出复数，由卡尔达诺与邦贝利完成。

2. 《新科学》——把数学用于火炮弹道，近代弹道学奠基之作。 问题背景：16 世纪火炮广泛使用，但射击全凭经验，缺乏定量理论；亚里士多德—经院"冲力说"认为抛体先沿直线冲、再沿垂直下落。关键思想：塔尔塔利亚在《新科学》（Nova Scientia，1537）中主张抛体轨迹全程都是曲线（反对"先直后弯"），并用几何与算术分析射程与仰角的关系。精确成果：他用插值法论证45°仰角时射程最大（从 30° 与 60° 的对称性出发），发明了测量炮口仰角的"炮尺"（gunner's square / balestriglia），并编制了最早的射表（firing tables）——这是把数学系统应用于军事弹道的开端，故被视为近代弹道学的奠基人之一。与前人的关系：把数学从纯理论转向实际军事工程，是 16 世纪应用数学的先驱。局限性：其物理模型仍受冲力说影响，并非真正的抛物线理论（后者要到伽利略）；45° 最大射程只在忽略空气阻力且起落点等高时成立。

3. 欧几里得《原本》的首部意大利文译本与出版。 1543 年，他出版了欧几里得《原本》的意大利文译本——这是《原本》首次以意大利文印行，使不懂拉丁文的意大利工程师、商人与艺术家得以直接接触古典几何，推动了古典数学在意大利民间的传播。与前人的关系：此前《原本》多以拉丁文流传（如 1482 年 Campanus 译本的印本），塔尔塔利亚的意大利文版是重要的通俗化一步。

4. 阿基米德著作的拉丁文版与古典数学的复兴。 他出版了阿基米德著作的拉丁文版本，把阿基米德的力学与几何（重心、浮力、面积体积求法）重新引入意大利学术圈，为伽利略一代的力学研究铺平道路。与前人的关系：上承希腊化数学的复兴运动（也得益于 Regiomontanus 以来对古本的搜寻与印刷）。

5. 通俗算术教科书与"塔尔塔利亚三角"。 他著有通俗算术读物《数字与度量通论》（Trattato generale di numeri et misure），把实用算术教给商人与工匠。他还给出了二项式系数的三角形排列（后世所谓"帕斯卡三角形"）——此图式并非他首创（阿拉伯的 al-Karajī、海亚姆，中国的贾宪、杨辉早已有之），但他在意大利重新发明并传播了它，是"塔尔塔利亚三角"名称的由来。与前人的关系：独立再发明，非首创。

四、代表著作与文献

• 《新科学》（Nova Scientia，威尼斯，1537）：把数学应用于火炮弹道的奠基之作，含最早射表与炮尺。
• 《各种问题与发明》（Quesiti et Inventioni diverse de Nicolo Tartalea，1546）：数学问题与发明汇编，其中详细陈述了三次方程优先权之争的己方立场，并攻击卡尔达诺。
• 欧几里得《原本》意大利文译本（1543）：首部意大利文版。
• 《数字与度量通论》（Trattato generale di numeri et misure）：通俗算术与度量教材。
• 阿基米德著作拉丁文版：推动古典力学在意大利的传播。
• 致费拉里的"挑战书与反挑战书"（Cartelli di matematica disfida，与费拉里的公开论战文书）。

五、师承、学派与同时代交往

• 教育：自学成才，无正式师承；赞助人 Ludovico Balbisonio 资助其赴帕多瓦学习。
• 对手/恩怨：卡尔达诺（发誓保密后发表，酿成终生仇恨）、费拉里（1548 年公开辩论将其击败）、菲奥尔（1535 年挑战赛手下败将）。
• 学术上承：德尔·费罗（三次方程先驱，但塔尔塔利亚独立再发现）、帕乔利《集成》（代数知识来源）、欧几里得与阿基米德（他翻译出版其著作）。
• 后世影响者：卡尔达诺、费拉里、邦贝利（复数）、伽利略（弹道与力学数学化的直接前驱）。

六、争议、公案与历史评价

• 与卡尔达诺的优先权之争——数学史上最著名的公案之一。 塔尔塔利亚 1539 年把三次方程解法以诗示卡尔达诺，后者发誓保密；1545 年卡尔达诺在《大术》中发表解法，理由是他在 1543 年从德尔·费罗的笔记本得知德尔·费罗才是首解者，故认为自己发表的是德尔·费罗的方法。塔尔塔利亚认为这是背信弃义，恨之终生。现代评价：卡尔达诺确实在《大术》中归功于德尔·费罗、塔尔塔利亚与费拉里三方，并非单纯剽窃；但其发表行为是否违反了对塔尔塔利亚的承诺，至今众说纷纭。公式被称为"卡尔达诺公式"（或"卡尔达诺—塔尔塔利亚公式"），而真正第一人是德尔·费罗。
• 1548 年辩论的败走：塔尔塔利亚在与费拉里的公开辩论首日见势不利，当夜离开米兰，被视为不光彩的退赛；这场失败直接导致他布雷西亚讲师薪酬被拒付，经济上雪上加霜。
• 原创性的边界：三次方程解法上，他独立于德尔·费罗再发现；"塔尔塔利亚三角"为独立再发明而非首创。应如实区分。
• 历史评价：他是文艺复兴代数与应用数学的关键人物；其把数学引入弹道学的实践，是近代科学"数学化"与工程结合的早期典范。月球上有以他命名的环形山（Tartaglia）。

七、身后影响与学术谱系

• 代数革命的核心环节：他的解法（与德尔·费罗的一起）经卡尔达诺、费拉里发展，使三次、四次方程得解，并直接催生了复数（邦贝利处理不可约情形）——这是 16 世纪数学最重要的突破之一。
• 应用数学与弹道学：《新科学》开创了把数学定量应用于军事工程的传统，为伽利略的抛体运动研究与近代弹道学铺路。
• 古典数学的意大利传播：欧几里得意大利文版与阿基米德拉丁文版，使古典几何与力学在意大利知识界（含工程师、艺术家）广泛传播，加速了科学革命的知识准备。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor: Tartaglia Biography：圣安德鲁斯大学数学史档案，主要传记来源。
• Dictionary of Scientific Biography: Tartaglia (PDF)：权威科学传记（A. Masotti 撰）。
• MacTutor: Tartaglia versus Cardan：优先权之争的一手文献摘录。
• MacTutor: Quadratic, cubic and quartic equations：三次方程求解史完整脉络。
• Heinz Klaus Strick: Cardan & Tartaglia (PDF)：通俗传记，含 1535 年挑战赛解析。
• S. Drake & I. E. Drabkin, Mechanics in Sixteenth-Century Italy: Selections from Tartaglia, Benedetti, Guido Ubaldo, and Galileo (1969)：《新科学》等的英译与研究。
• G. B. Gabrieli, Nicolo Tartaglia: invenzioni, disfide e sfortune (Siena, 1986)：意大利文综合研究。
• Wikipedia: Niccolò Tartaglia：综合条目，交叉核对用。