田刚（Gang Tian）

K-稳定性的提出者，Yau–Tian–Donaldson 猜想的证明者之一；把复几何的度量存在性问题翻译成代数几何的稳定性语言，并为量子上同调奠基。

一、生平与时代背景

田刚 1958 年 11 月生于江苏南京。1982 年毕业于南京大学数学系（部分中文资料记为 1981 年，存疑），同年考入北京大学数学系攻读硕士，师从张恭庆教授，1984 年获硕士学位。同年由北京大学公派赴美国，跟随丘成桐在哈佛大学攻读博士，1988 年获博士学位，论文题为 Kähler Metrics on Algebraic Manifolds，由此成为陈省身—丘成桐几何分析学派的重要传人。

获得博士学位后，田刚在多所顶尖机构任职：普林斯顿大学助理教授（1988–1990）、纽约州立大学石溪分校副教授（1990–1991）、纽约大学库朗研究所（CIMS）副教授（1991–1992）并升任教授（1992–1996）、麻省理工学院教授（1995–1996）及 Simons 讲座教授（1996–2006）、普林斯顿大学教授（2003–2009）及 Higgins 讲座教授（2009–2017）。1991 年起同时任北京大学教授，2005 年起任北京国际数学研究中心（BICMR）主任，2013–2017 年任北京大学数学科学学院院长，2017–2019 年任北京大学副校长，2019 年起任中国数学会理事长。2017 年起任普林斯顿大学 Higgins 荣休教授。

二、学术生涯年表

年份	事件
1958	11 月生于江苏南京。
1982	南京大学数学系本科毕业（一说 1981，存疑）。
1984	获北京大学硕士学位（导师张恭庆）；公派赴哈佛大学。
1988	获哈佛大学博士学位（导师丘成桐），论文《Kähler Metrics on Algebraic Manifolds》。
1988–1990	普林斯顿大学助理教授。
1990–1991	纽约州立大学石溪分校副教授。
1991	起任北京大学教授；获 Sloan 研究奖。
1992–1996	纽约大学库朗研究所（CIMS）教授。
1994	获 NSF Alan T. Waterman 奖。
1995–2006	麻省理工学院教授（1996 年起 Simons 讲座教授）。
1996	获美国数学会 Oswald Veblen 几何奖。
1997	引入 K-稳定性概念，发表 Kähler–Einstein 度量与稳定性的工作。
2001	当选中国科学院院士。
2003	起任普林斯顿大学教授。
2004	当选美国艺术与科学院院士。
2005	任北京国际数学研究中心（BICMR）主任。
2009–2017	普林斯顿大学 Higgins 讲座教授。
2012	公布 K-稳定法诺流形上凯勒—爱因斯坦度量存在性的证明（YTD 猜想）。
2013–2017	任北京大学数学科学学院院长。
2015	论文《K-stability and Kähler–Einstein metrics》发表于 CPAM（附一则勘误）。
2017–2019	任北京大学副校长。
2019	起任中国数学会理事长。

三、核心成果（逐条技术解析）

1. K-稳定性与 Yau–Tian–Donaldson 猜想

问题背景：丘成桐提出，第一陈类为正的法诺（Fano）流形存在凯勒—爱因斯坦（KE）度量，应当等价于某种代数几何的“稳定性”。他指出应研究射影嵌入在射影空间全纯向量场下的形变。田刚据此在 1997 年论文中引入 K-稳定性（K-stability）的概念：对一个极化代数簇 $(M,L)$，考虑由 $\mathbb{C}^*$ 作用诱导的 test configuration，其 Futaki 不变量的“代数重数”给出 K-稳定性的判据；他证明任何容许 KE 度量的法诺流形必是 K-半稳定的（K-semistable）。Donaldson 随后用代数几何语言重新表述，二者合称为 Yau–Tian–Donaldson 猜想：法诺流形存在 KE 度量当且仅当它 K-稳定。

结果：田刚 2012 年公布、2015 年正式发表于 Communications on Pure and Applied Mathematics 的论文《K-stability and Kähler–Einstein metrics》证明：若法诺流形 $M$ 是 K-稳定的，则它容许 KE 度量，即肯定了该猜想。证明中关键技术是他提出的 partial $C^0$-估计（部分 $C^0$ 估计），用以控制一列 KE 度量的极限行为。

与前人关系与局限：该猜想由丘成桐提出、田刚引入 K-稳定性、Donaldson 代数化。围绕证明的完整性与发表先后存在讨论（见第六节）。K-稳定性现已成为代数几何几何不变量理论（GIT）稳定性的核心概念，但对一般非 Fano 流形的 KE 度量存在性，YTD 框架仍在发展中。

2. Gromov–Witten 不变量与量子上同调

问题背景：Gromov（1985）与 Witten（1990）从物理直觉提出，辛流形上应存在由全纯曲线计数定义的不变量，并给出“量子上同调”的环结构。把这些直觉严格化是 1990 年代辛拓扑与代数几何的重大任务。

结果：田刚与阮勇斌（Yongbin Ruan）合作，对闭辛流形建立了 Gromov–Witten 不变量的严格构造与量子上同调环；同时与李骏（Jun Li）合作在代数几何框架下（virtual fundamental cycle）构造了代数簇的 Gromov–Witten 不变量。田刚还与合作者解决了量子上同调的非退化性等问题。Kontsevich–Manin 也独立给出代数情形的构造。

意义：为辛拓扑与代数几何之间架起桥梁，是镜像对称数学理论的基础，深刻影响了后续的 Gromov–Witten 理论与 Donaldson–Thomas 理论。

3. 高维 Yang–Mills 场的紧化理论与校准几何

背景：四维 Yang–Mills 瞬子的紧化理论是 Donaldson 理论的基础，但高维规范场的解析紧化长期缺乏一般理论。

结果：田刚发展了高维 Yang–Mills 场（反自对偶联络）的紧性定理，发现高维规范场与校准几何（calibrated geometry，特别是 Cayley 子流形）之间的深刻联系：爆破极限可以由校准子流形描述。这为高维规范理论与弦论中的膜（brane）几何提供了数学基础。

四、代表著作与文献

Tian, G. (1997). Kähler–Einstein metrics with positive scalar curvature. Inventiones Mathematicae, 130(1), 1–37.（引入 K-稳定性的奠基论文）
Tian, G. (2015). K-stability and Kähler–Einstein metrics. Communications on Pure and Applied Mathematics, 68(7), 1085–1156（附 Corrigendum, 68(11), 2082–2083）.
Ruan, Y. & Tian, G. (1995). Bott formula and enumerative geometry. J. Amer. Math. Soc.；以及两人关于量子上同调的系列工作。
Li, J. & Tian, G. (1998). Virtual moduli cycles and Gromov–Witten invariants of algebraic varieties. J. Amer. Math. Soc.
Tian, G. (2000). Canonical metrics in Kähler geometry. Birkhäuser（ETH 讲义，系统介绍 KE 度量与稳定性）。

五、师承、学派与同时代交往

导师：硕士导师张恭庆（北京大学，非线性分析）；博士导师丘成桐（哈佛大学，几何分析）。田刚是陈省身 → 丘成桐 → 田刚这一华人几何分析谱系的关键一环。
合作者：阮勇斌（Gromov–Witten 不变量）、李骏（代数 Gromov–Witten）、陈秀雄、Simon Donaldson（在 YTD 猜想上有交集与竞争）、Viacheslav Nikulin、李驰、王枫（奇异 Fano 簇的 YTD 一致版本）等。
学生：包括 Nataša Šešum（PDE/几何分析）、韦东奕等。
学术服务：任《Annals of Mathematics》《Advances in Mathematics》《Geometry and Topology》等多种期刊编委；2012–2014 年任挪威 Abel 奖委员会委员；2019–2022 年任国际数学联盟（IMU）执委会委员。

六、争议、公案与历史评价

YTD 猜想证明的优先权讨论：田刚于 2012 年公布 K-稳定法诺流形存在 KE 度量的证明，2015 年发表于 CPAM（并附一则勘误）；陈秀雄（Xiuxiong Chen）、Simon Donaldson、孙崧（Song Sun）几乎同时独立给出另一证明（分三篇系列论文发表），并于 2019 年因此获 AMS Veblen 几何奖。2015 年前后，田刚与 CDS 之间就论证的完整性在公开渠道有过学术讨论。相关优先权与论证细节问题学界仍有不同看法，此处标为存疑；可以确定的是：丘成桐提出猜想、田刚引入 K-稳定性、YTD 猜想现已被公认解决。
历史评价：田刚是几何分析与复几何领域的国际领军人物，K-稳定性这一概念已成为当代代数几何的核心词汇；他同时在中美两国推动数学研究，BICMR 已成为中国几何分析的重镇。

七、身后影响与学术谱系

K-稳定性的扩散：K-稳定性从复几何的判据演化为代数几何几何不变量理论的中心概念，延伸到 K-多重稳定（K-polystability）、一致 K-稳定性、奇异簇的稳定性等，影响深远。
量子上同调与 Gromov–Witten：田刚的奠基工作是镜像对称数学化的关键一步，后续衍生出 Donaldson–Thomas、FJRW 等理论。
学术谱系：张恭庆/丘成桐 → 田刚 → 韦东奕、李驰、王枫等，延续并拓展了华人几何分析学派。
机构建设：主持北京国际数学研究中心（BICMR，2005 至今），推动北大数学与国际接轨；作为中国数学会理事长（2019–）参与制定中国数学发展规划。

八、延伸阅读与权威来源

Gang Tian — Brief CV (BICMR, Peking University)：田刚官方简历，教育经历、任职与荣誉。
Tian, Gang — Princeton University, Dean of the Faculty：普林斯顿官方介绍，概述其数学贡献。
Tian's paper "On the Yau-Tian-Donaldson Conjecture for Singular Fano Varieties" published in CPAM — BICMR 新闻：北京国际数学研究中心对田刚 YTD 工作的官方说明。
Tian, Gang. K-stability and Kähler-Einstein metrics — CPAM (Wiley)：YTD 猜想证明的正式发表页面。
Wikipedia: Tian Gang：交叉核对用（不作为唯一来源）。

说明：MacTutor 数学史档案未收录田刚独立条目，本档案主要依据其官方简历与正式发表论文撰写。