约翰·沃利斯（John Wallis）

牛顿之前英国最伟大的数学家——以《无穷算术》把卡瓦列里的不可分量法算术化，用插值推出 π 的无穷乘积，推广分数/负指数，引入 ∞ 符号，直接启发了牛顿的二项式定理与微积分。

一、生平与时代背景

约翰·沃利斯 1616 年 11 月 23 日生于英国肯特郡阿什福德（Ashford）。父亲老约翰·沃利斯是阿什福德的牧师（1602 年起任职），德高望重；母亲乔安娜·查普曼是父亲的第二任妻子，1612 年结婚，约翰是他们五个孩子中的第三个。约翰约六岁时父亲去世。

他先在阿什福德上学，因当地瘟疫暴发，母亲决定把他送走，1625 年进入肯特郡滕特登的詹姆斯·莫瓦特文法学校，首次显露学术天赋。他在自传中写道："即使从小，我不仅喜欢死记硬背，更想知道所学的根据与理由——既要充实记忆，也要启迪判断。"1630 年，年仅 13 岁的他便自认"已像一些被送进大学的人那样成熟"。1631—1632 年他在埃塞克斯郡费尔斯特德的马丁·霍尔贝奇学校就读，精通拉丁语、希腊语、希伯来语，也学逻辑——但当时最好的学校不重视数学，他在校期间从未接触过数学。

1631 年圣诞假期，他第一次接触数学：哥哥教给他算术规则，他立刻迷上，此后把数学当作"闲暇时的愉快消遣"。他读的数学书全是偶然所得："无人指导我该读什么书、寻求什么、按什么方法进行。在当时的我们看来，数学几乎不算学术科目，而更像手艺——是商人、海员、木匠、测量员之流的事。"

约 1632 年圣诞他入剑桥伊曼纽尔学院，1637 年获文学士，1640 年获文学硕士。因剑桥无人能指导其数学研究，他涉猎了伦理学、形而上学、地理学、天文学、医学与解剖学等众多学科。他虽从未打算行医，却在一次公开辩论中捍卫其老师弗朗西斯·格里森关于血液循环的革命性理论，是第一个公开为血液循环说辩护的人。

1640 年，他由温彻斯特主教祝圣为神职人员，被任命为约克郡巴特沃思的理查德·达利爵士的牧师。1642—1644 年在埃塞克斯赫丁厄姆及伦敦任牧师。正是在此期间，两件改变他命运的事发生了：

其一，1642 年 12 月 27 日的一个晚上，有人带来一封密信（关于奇切斯特的陷落），沃利斯在两小时内成功破译。这一壮举开启了他的密码学生涯——他为议会党破译王党密信，当时密码术几乎无人精通。1643 年他因此获伦敦圣加百列教堂的职位；同年母亲去世，他继承了肯特郡的大笔地产，经济独立。

其二，1647 年他读到了奥特雷德（Oughtred）的《数学之钥》（Clavis Mathematicae），沉睡多年的数学热情喷涌而出——数周之内便精通此书，并开始产出自己的数学成果。

1644 年他任威斯敏斯特教士秘书并获剑桥王后学院研究员资格，但 1645 年 3 月 14 日与苏珊娜·格莱德结婚后按规定失去研究员资格（当时研究员不得婚娶）。他回到伦敦，开始与一群科学家每周聚会——这群人后来演变为伦敦皇家学会，且从一开始就立有严格规矩：禁止讨论神学、国事与新闻，只谈自然哲学。1649 年，他因支持议会党而被克伦威尔任命为牛津大学萨维利安几何学讲座教授（前任彼得·特纳因王党立场被解职）。他担任此职五十余年直至去世。

尽管是议会党人，沃利斯曾公开反对处决查理一世（1648 年签署了反对处死国王的请愿书），且出于真心。1660 年复辟后，查理二世确认了他的萨维利安讲座职位，还任命他为王室牧师，1661 年提名他加入修订《公祷书》的委员会。1657 年他被选为牛津大学档案管理员（Custos Archivorum），其选举手段曾受奥布里等批评，但他履职出色。

沃利斯晚年以惊人的心算能力闻名。他睡眠很差，常躺在床上做心算。有一夜他在脑中算出一个 53 位数的平方根，次日早晨凭记忆口算出 27 位的结果——这一壮举被记入 1685 年的《皇家学会哲学汇刊》。1703 年 10 月 28 日，沃利斯在牛津去世，享年 86 岁。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 沃利斯乘积公式：π 的无穷乘积（《无穷算术》，1656）

问题背景：如何计算单位圆的面积 $\int_0^1 (1-x^2)^{1/2}\,dx = \pi/4$？卡瓦列里能算整数幂 $\int (1-x^2)^n dx$，但对分数指数 $1/2$ 无能为力。

关键思想：沃利斯先用不可分量法（算术化版）计算积分 $I_n = \int_0^1 (1-x^2)^n\,dx$ 对整数 $n$ 的值，把它们排成序列： $$I_0=1,\ I_1=\frac{2}{3},\ I_2=\frac{8}{15},\ I_3=\frac{48}{105},\ \dots$$ 注意到 $I_n$ 的奇偶项分别成规律。他要的是 $I_{1/2}$（对应半圆面积），它应当"插值"在 $I_0$ 与 $I_1$ 之间。于是他发明了插值法——利用序列已知项的规律，推算中间项的值。

精确表述：通过插值，他得到 $$\frac{\pi}{2} = \frac{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdot 8\cdot 8\cdots}{1\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot 9\cdot 9\cdots} = \prod_{k=1}^{\infty}\frac{(2k)(2k)}{(2k-1)(2k+1)}.$$ 这就是沃利斯公式。惠更斯起初拒绝相信，直到看到它确实给出正确的 π 数值近似才信服。这是历史上第一个把 π 表为简单有理数无穷乘积的公式。

与前人关系：基于卡瓦列里的积分结果，但用插值突破了分数幂的障碍。牛顿在自述中明确说，正是读了沃利斯的"插补法"（intercalation），才启发他发现了广义二项式定理。

局限性：插值的严格性当时未被证明（沃利斯凭"连续性"直觉，即开普勒的连续性原则）；乘积收敛慢，不适合实际计算 π，但理论意义重大。

2. 插值法与广义二项式的铺路

问题背景：把整数幂的结果推广到分数/负指数。

关键思想：沃利斯系统地用"插值"（interpolation，他在《无穷算术》中引入这个词）填补已知序列中的空缺，假设序列的"中间值"保持整体规律（基于连续性原理）。他据此把幂的概念从整数指数推广到分数指数与负指数：$x^{p/q}$ 表示 $x^p$ 的 $q$ 次根，$x^{-n}=1/x^n$。

精确表述：他认识到二项式系数表（帕斯卡三角形）可以插值推广到分数行，从而把 $(1+x)^n$ 从整数 $n$ 推广到任意有理数。牛顿正是沿着这条路，用沃利斯的插值思想推出了对任意有理指数成立的广义二项式定理： $$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots.$$

与前人关系：沃利斯是插值法的系统提出者；牛顿在《无穷算术》的直接启发下完成了二项式定理的推广。牛顿写道："在我数学研究之初，沃利斯博士的著作落入我手中，我注意到他用插补法表示圆与双曲线面积的级数……"

局限性：沃利斯本人未给出二项式定理的一般形式，只走到了"插值可行"的门口；严格证明由后来的数学家完成。

3. 引入无穷大符号 ∞ 与代数符号的推进

问题背景：数学中需要一个表示"无穷"的记号。

关键思想：沃利斯在《圆锥曲线论》（1655）中首次使用符号 ∞ 表示无穷大——他选择这个符号是因为它像一条可以无限次描摹的曲线。几个月后在影响更大的《无穷算术》中再次使用，此后该符号成为标准。

精确表述：在《无穷算术》中他写道，当 $n$ 为无穷大时，$\sum_{k=0}^{n} k^m / n^{m+1}$ 的极限为 $1/(m+1)$，用 ∞ 表示那个无穷大的 $n$。他还推广了幂的记号，使分数指数与负指数成为通用写法。

与前人关系：此前无穷只是一个观念，无专用符号；沃利斯的 ∞ 沿用至今。

4. 圆锥曲线的代数化（《圆锥曲线论》，1655）

问题背景：传统上圆锥曲线被定义为平面截圆锥所得的曲线，研究依赖立体几何构造。

关键思想：沃利斯在《圆锥曲线论》中把圆锥曲线直接作为代数方程的曲线来研究，摆脱了圆锥的纠缠（"without the embranglings of the cone"）。

精确表述：他用坐标把圆、椭圆、抛物线、双曲线分别写成二次方程的标准形式，直接从方程推出其几何性质。他在引言中宣称："把抛物线看作平行于母线的平面截圆锥所得，并不比把圆看作平行于底面的截面、或把三角形看作过顶点的截面更有必要。"

与前人关系：笛卡尔的解析几何已开其端，沃利斯是第一个用这些新方法的英国数学家，并把圆锥曲线从立体中彻底解放为平面代数曲线。

5. 代数方程根的讨论与数学史（《代数论》，1685）

问题背景：负数根、复数根的合法性，以及代数史的整理。

关键思想：在《代数论》（Treatise on Algebra，1685）中，沃利斯接受了负数根与复数根，并系统展示了哈里奥特（Harriot）的工作（哈里奥特 1621 年去世，其《分析艺术的实践》1631 年出版，长期被忽视）。

精确表述： - 他证明 $x^3-7x=6$ 有三个根且全为实根。 - 他正确批评笛卡尔符号法则：该法则判断正/负根个数的方法，仅当方程所有根都是实数时才精确成立，否则只能给出上界。这是对笛卡尔的一个有力且正确的批评。 - 他提出一个有争议的主张：笛卡尔的代数知识直接来自哈里奥特。此说至今未被彻底证伪或证实，仍有讨论空间。

与前人关系：哈里奥特的方程理论早于笛卡尔，但因符号与出版延迟而影响有限；沃利斯是第一个真正理解其贡献并为之正名的人。

局限性：其"笛卡尔抄哈里奥特"的主张缺乏确证，多半出于英国民族主义情绪（MacTutor 评语）。

6. 密码学与心算

问题背景：英国内战期间议会党需要破译王党密信。

关键思想：沃利斯自幼擅长语言与逻辑，1642 年两小时破译密信后，成为议会党的首席密码专家。

精确表述：他破译了大量王党密信，对议会军的情报工作贡献颇大。复辟后他仍受重用，说明其密码学能力被各方认可。此外他的心算能力惊人——1685 年在脑中算出 53 位数的平方根并口报 27 位结果，被载入《皇家学会哲学汇刊》。

与前人关系：密码术在当时英国几乎无人精通，沃利斯是开创者之一。

四、代表著作与文献

• 《无穷算术》（Arithmetica Infinitorum，1656）：代表作，给出 π 的沃利斯乘积公式、插值法，启发牛顿二项式定理。
• 《圆锥曲线论》（Tract on Conic Sections，1655）：把圆锥曲线代数化，首次使用 ∞ 符号。
• 《代数论》（Treatise on Algebra, both Historical and Practical，1685）：含数学史、哈里奥特工作、根的讨论、对笛卡尔符号法则的批评。
• 《英语语法》（Grammatica linguae Anglicanae，1653）：非数学著作。
• 《逻辑学讲义》（Institutio logicae，1687）：逻辑教材。
• 《角截线论》（Treatise of Angular Sections）：写于早年，四十年后才出版。
• 还复原了托勒密《和声学》、阿里斯塔克《论日月的大小与距离》、阿基米德《数沙者》等古希腊著作。

五、师承、学派与同时代交往

• 师承：无严格数学导师，基本靠自学（读奥特雷德、哈里奥特等）。剑桥时期涉猎广泛，医学受格里森影响。
• 学派归属：英国数学传统，皇家学会创始成员之一；在政治上属议会党，学术上受笛卡尔、卡瓦列里影响。
• 同时代交往：
• 艾萨克·牛顿：晚辈，沃利斯是牛顿数学上最重要的英国先驱之一，《无穷算术》直接启发了牛顿。
• 托马斯·霍布斯：宿敌。1655 年起就"化圆为方"展开长达二十余年的激烈论战，用词粗鄙，涉及哲学与数学方法论。
• 克里斯蒂安·惠更斯：通信，惠更斯起初不信沃利斯的 π 公式，后被说服。
• 罗伯特·波义耳：卷入霍布斯—波义耳的真空论战（延续霍布斯之争）。
• 亨利·奥尔登堡：皇家学会秘书，曾派人调查沃利斯的心算方法。
• 同时代学者：奥特雷德（其著作的启发者）、哈里奥特（其研究的推崇对象）、克伦威尔（政治庇护人）。

六、争议、公案与历史评价

• 与霍布斯的二十余年论战：1655 年霍布斯声称已化圆为方，沃利斯在《无穷算术》付梓之际驳斥，霍布斯回以《给萨维利数学教授的六堂课》，沃利斯回《对霍布斯先生的正当纠正》，双方互骂（霍布斯称沃利斯"粗野"，沃利斯称霍布斯若非疯了便是唯一不疯的人）。这场论战绵延二十余年，直至霍布斯 1679 年去世，连波义耳也被卷入。数学上霍布斯远非沃利斯对手。
• "笛卡尔抄哈里奥特"的指控：沃利斯在《代数论》中主张笛卡尔的代数源于哈里奥特。MacTutor 认为"几乎没有根据"，多半出于爱国与为哈里奥特正名；但该问题至今学界仍有讨论，未完全定论。
• 学术职位的获取手段：萨维利安讲座因政治立场（议会党）而得，档案管理员的选举手段被奥布里斥为"不正当"，但他履职均出色。
• 插值的严格性：其插值法基于连续性直觉，当时缺乏严格证明，但极富成效。
• 历史评价：沃利斯是牛顿之前英国最具影响力的数学家。其《无穷算术》是分析学史上的关键著作，直接催生了牛顿的二项式定理与早期微积分。他在代数符号（∞、分数/负指数）、数学史整理、密码学上都有持久贡献。赫恩评价他"当时数学界最伟大的人物，当之无愧"。

七、身后影响与学术谱系

• 对微积分：插值法与幂函数积分的算术化直接启发牛顿；沃利斯公式后来出现在欧拉、高斯的工作中（如Γ函数的加倍公式）。
• 对二项式定理：牛顿自述从沃利斯的插值出发，发现广义二项式定理，这是微积分计算的核心工具。
• 对代数符号：∞ 符号、分数/负指数沿用至今，是现代数学语言的一部分。
• 对数学史：《代数论》是最早的数学史著作之一，保存了哈里奥特等英国数学家的工作。
• 对密码学：英国内战时期的密码分析先驱。
• 文化符号：∞ 符号是数学中最具辨识度的符号之一；沃利斯公式是每个分析学学生的必修内容。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor 数学史档案：John Wallis：圣安德鲁斯大学权威传记，本档案主要史实出处。
• Dictionary of Scientific Biography — Wallis (PDF, MacTutor 托管)：科学史权威传记条目。
• Wikipedia: John Wallis：交叉核对生平与著作。
• Wikipedia: Wallis product：π 乘积公式的推导与意义。
• Wikipedia: Method of indivisibles：与卡瓦列里的关系。
• Britannica: John Wallis：百科条目交叉核对。
• J. F. Scott, The Mathematical Work of John Wallis (1616–1703) (London, 1938; New York, 1981)：标准研究专著。
• C. J. Scriba, Studien zur Mathematik des John Wallis (1616–1703) (Wiesbaden, 1966)：德语权威研究。