杨辉（Yang Hui，字谦光）

南宋末年的数学家与数学教育家，《详解九章算法》《杨辉算法》的作者；他保存了失传的贾宪三角，系统构造了三阶至十阶幻方与幻圆，发展了乘除速算与高阶等差级数求和，并留下了中国古代罕见的一份数学教学大纲。

一、生平与时代背景

关于杨辉的生平，史料同样稀少。他字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，约生于 1238 年（宋理宗嘉熙二年），约卒于 1298 年（元成宗大德二年），即主要活动于南宋末年，卒年已入元。他与秦九韶、李冶大致同时，但秦、李的主要著作比杨辉的第一部早约十五年；朱世杰则约在杨辉首批著作问世时才出生，故两人生活亦有重叠。

杨辉自述其数学得自刘益（中山，今广东一带人）传授，但刘益生平无可考；他还提到四位对数学感兴趣的友人，亦皆不见于他书记载。传统观点推测他是一名低级官吏（因当时算家多为官员，而重要官员会入王朝正史，杨辉未见传），但 MacTutor 撰写者 E. F. Robertson 根据其著作强烈的教学风格推断，他更可能是一位活跃的数学教师，身边有一群年轻学生——这一判断更贴合书中循循善诱的口吻，但其确切身份仍属推测，存疑。

杨辉生活在南宋末年商业与手工业繁荣、算学实用需求旺盛的时代，其著作多服务于田亩、赋税、商业、工程等日常计算，同时兼顾理论兴趣（如幻方）。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 保存贾宪三角（二项式系数表），使其流传至今

杨辉最重要的「保存之功」：在《详解九章算法》（1261）中，他录得一份含贾宪注释的《九章算术》善本，并将贾宪的「开方作法本源」图——即二项式 $(a+b)^n$ 展开系数的三角形数表——完整转载，注明「出《释锁算书》，贾宪用此术」。由于贾宪原书已佚，杨辉的转载是贾宪三角（西方称帕斯卡三角）得以流传至今的唯一渠道。也正因如此，这张表在中国常被称为「杨辉三角」——尽管其真正发明者是贾宪，比 Pascal 早约六百年。

杨辉本人由此进一步研究了高阶等差级数（垛积）求和，例如三角垛（即 $\binom{n}{2}$ 的求和）公式：

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{k(k+1)}{2}=1+3+6+\cdots+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6},$$

并给出从 $m^2$ 到 $(m+n)^2$ 的平方和等公式。这些成果后由朱世杰发展为更一般的「垛积术」与「招差术」。

2. 幻方与幻圆（纵横图）的系统构造

在《续古摘奇算法》中，杨辉系统整理并构造了从三阶到十阶的幻方（他称「纵横图」，不赋予「魔法」含义，仅作数字图），以及多种幻圆。具体给出：三阶 1 个、四阶 2 个、五阶 2 个、六阶 2 个、七阶 2 个、八阶 2 个、九阶 1 个、十阶 1 个，另有「攒九图」等同心幻圆与连环幻圆——每圆中心与四正方位数字之和恒为定值（如 65）。

他给出了构造方法：如四阶幻方用「易换术」——先将十六数依次排成四行，交换外四角、再交换内四角，即得。杨辉自称这些是「古有之法」，不据为己有，但中国此前文献中并无更高阶幻方的记录，因此至少其构造程序的系统整理当归功于他。这是中世纪世界上最丰富的幻方构造之一，早于欧洲同类系统研究。

3. 乘除捷算与「九归」口诀：珠算的前身

在《乘除通变本末》中，杨辉总结了筹算乘除的各种速算法，创立「九归」等口诀，把繁琐的乘除化为可背诵的歌诀，大幅提高计算速度。这些口诀后来直接演变为珠算的「九归口诀」，是中国从筹算向珠算过渡的关键一环。他还发展了十进小数的表示与运算，便利了田亩、商业的实际计算。

4. 线性方程组的「行列式」式解法

在《详解九章算法》中，杨辉对《九章算术》卷七第 16 题（玉石混合立方）给出了与前人不同的解法，其本质是计算系数矩阵的行列式来求解二元一次方程组。设玉 $x$ 立方寸、石 $y$ 立方寸：

$$x+y=27,\qquad 7x+6y=176,$$

解得玉 14 立方寸（6 斤 2 两）、石 13 立方寸（4 斤 14 两）。虽然杨辉没有抽象出「行列式」的一般概念，但他的算法已触及这一思想，是中国线性方程组解法的新进展。

5. 不定方程与《习算纲目》

《续古摘奇算法》中载有「百钱买百橘」问题（温州橘 7 钱、绿橘 3 钱、金橘 3 个 1 钱，百钱买百橘），属张丘建「百鸡问题」的同类不定方程；杨辉给出的解法实质上是消元与整数参数讨论，显示中国不定分析传统的延续。

更难得的是，《乘除通变本末》卷首的《习算纲目》是中国古代罕见的数学教学大纲：它规定了系统学习数学的内容与时间表，并强调「理解优先于死记硬背」，批评传统「一人一本经典、各读一两年」的零散学法。Man-KEung Siu 评价它是「古代中国数学教育中一份重要而独特的现存文献」。

四、代表著作与文献

• 《详解九章算法》十二卷（1261）：选《九章》246 问中 80 问，从「算理—数值解—推广」三层解析；转载贾宪三角。部分内容散佚，清《四库全书》从《永乐大典》辑出。
• 《日用算法》（1262）：初等实用算书，今已佚，仅存佚文（可由后世引述部分复原）。
• 《乘除通变本末》三卷（1274）：乘除捷算、九归口诀，卷首《习算纲目》；末卷与友人史仲荣合撰。
• 《田亩比类乘除捷法》二卷（1275）：田亩测量的实用算法。
• 《续古摘奇算法》二卷（1275）：幻方、幻圆、百橘等趣题。
• 以上 1274—1275 四书合编为《杨辉算法》；有兰丽蓉（Lam Lay Yong）1977 年英文校注本。

五、师承、学派与同时代交往

• 师承：数学得自刘益（中山人），刘益生平无可考，是唯一可考的师承线索。
• 友人：史仲荣（合著《乘除通变本末》末卷）等四位对数学感兴趣的友人，皆不见他书。
• 学术脉络：承《九章算术》、刘徽、李淳风的注释传统，并通过转载保存了贾宪的成果；其开方法、方程术与秦九韶、李冶属同一宋元传统，但三人互不引用，似各自独立（杨辉在南方，李冶在北方）。
• 国际影响：《杨辉算法》后来传入日本，对和算（如关孝和）的早期发展有影响。

六、争议、公案与历史评价

• 身份：低级官吏 vs 数学教师，无定论（MacTutor 倾向教师说，传统认为小吏），存疑。
• 「杨辉三角」的命名：中国常称「杨辉三角」，但发明者是贾宪；杨辉是保存者。命名归属的厘清是中算史的一段公案——杨辉本人已注明「贾宪用此术」，故应称「贾宪三角」为正。
• 幻方的原创性：杨辉自称古法，不据为己有；但高阶幻方此前无存世记录，故其系统整理的归属存疑。
• 常见误传：把杨辉说成「发明」了二项式系数表——准确地说，他是保存并传播了贾宪的成果；其本人的原创贡献在幻方构造、速算口诀、垛积公式与教学法。

七、身后影响与学术谱系

杨辉的影响是多面的：（1）保存贾宪三角，使二项式系数传统在中国延续，后由朱世杰发展为垛积招差；（2）幻方研究开中国组合数学之一脉，影响后世直至现代；（3）九归口诀直接催生珠算，深刻改变了东亚的计算工具；（4）其通俗实用的算学书与教学大纲影响了元明清的算学启蒙。在世界范围内，「杨辉三角」与帕斯卡三角的比较，是中西数学独立发展的经典案例。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor: Yang Hui (约 1238—约 1298)：圣安德鲁斯大学权威传记，含各书内容、幻方、百橘问题与教学风格的详尽分析。
• 杨辉 - 维基百科（中文）：生平、著作（字谦光、钱塘人）与贡献概述。
• Dictionary of Scientific Biography: Yang Hui (Peng-Yoke Ho 撰，经 MacTutor)：经典科学传记词典条目。
• 从《射雕英雄传》看中国古代的算学成就 - 光明日报：含杨辉《续古摘奇算法》对纵横图研究的权威科普。
• 南宋著名数学家：杨辉 - 武汉教育云：杨辉幻方构造法（九子斜排、易换术）的中文解说。
• L Y Lam, A Critical Study of the Yang Hui Suan Fa (Singapore, 1977)：《杨辉算法》的英文校注与研究，权威现代版本。
• J-C Martzloff, A History of Chinese Mathematics (Springer, 1997)：中算通史，定位杨辉的历史坐标。
• M K Siu, "Pyramid, pile, and sum of squares", Historia Mathematica 8(1), 1981, 61–66：杨辉垛积求和公式的几何思想研究。