皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）

「业余数学家之王」——以律师为业、以数学为生命，独立发明解析几何、开创近代数论、与帕斯卡共创概率论，其思想是微积分与代数数论的共同源头，留下困扰数学界 358 年的费马大定理。

一、生平与时代背景

皮埃尔·费马于 1601 年 8 月 17 日出生在法国南部的博蒙-德洛马涅（Beaumont-de-Lomagne）。父亲是富有的皮革商人，曾任该镇第二执政官；母亲出身贵族家庭。他有一兄两妹，几乎可以肯定在故乡长大。关于其确切出生日期有一桩小争议：有学者（Mahoney）推测他可能有一个也叫皮埃尔、幼年夭折的兄长，因此现传 1601 年的生日或许属于后者，而我们所知的数学家费马可能生于略晚——学界对此存疑，但 1601 年 8 月 17 日仍是最广为接受的日期。他的学校教育几乎无直接史料，一般认为是在当地方济各会修道院完成的。

他先入图卢兹大学，1620 年代后半转赴波尔多。在波尔多他开始了第一批严肃的数学研究：1629 年把自己复原的阿波罗尼奥斯《平面轨迹》抄本赠予当地一位数学家；在此结识博格兰（Beaugrand），并完成关于极大极小值的重要工作，交给同样爱好数学的艾蒂安·达斯帕涅（Étienne d'Espagnet）。从波尔多他又到奥尔良大学攻读法律，获民法学位，并购买了图卢兹议会顾问官的职位——这是当时法国卖官鬻爵制度下的常见升迁路径。到 1631 年，他已是图卢兹的律师兼政府官员，因所任官职而获得在姓氏中加 "de" 的资格，从此称"皮埃尔·德·费马"。

此后他终身居于图卢兹，也在故乡博蒙和附近的卡斯特尔（Castres）任职。1631 年 5 月 14 日起在议会下院工作，1638 年 1 月 16 日升入上院，1652 年晋升至刑事法庭最高级别。这种近乎火箭式的升迁，部分靠年资，部分是因为 1650 年代初瘟疫使许多年长官员离世。费马自己也染上瘟疫，1653 年他的死讯曾被误报，随后更正："我先前告知你费马的死讯。他还活着，我们已不再为他的健康担心，尽管不久前我们还把他算作死者之一。"

数学只是他的业余爱好，但他全身心投入。他与博格兰保持数学友谊，到图卢兹后又结识了同为顾问官的卡尔卡维（Carcavi）——二人因共同爱好数学而深交。1636 年卡尔卡维赴巴黎任皇家图书馆员，与梅森及其学术圈建立联系。梅森从卡尔卡维处听说费马关于落体的发现后致信费马；1636 年 4 月 26 日费马回信，指出伽利略自由落体描述中的错误，并介绍了自己关于螺线（推广阿基米德《论螺线》求面积）和复原阿波罗尼奥斯轨迹的工作。这次通信开启了他与巴黎学界的往来，也确立了他作为一流数学家的声誉。

然而费马生性缄默、隐秘，不愿透露自己的方法，喜欢在信中抛出已解出的难题挑战他人，却不附证明。这使他的成果迟迟得不到系统出版：埃里戈纳（Hérigone）曾把他的极值方法作为附录收入自己的《数学教程》，但费马本人几乎从不主动发表。他与巴黎数学家的通信也并非人人欣赏——弗雷尼克尔·德·贝西（Frenicle de Bessy）就因解不出费马的问题而恼怒，觉得被戏弄。

1643—1654 年，费马与巴黎学界基本断联：一是公务繁忙，二是 1648 年起的法国内战"福隆德运动"（Fronde）波及图卢兹，三是 1651 年瘟疫的影响。正是在这段相对隔绝的时期，他把主要精力投入了数论——他最珍视、也最具原创性的领域。1654 年，年轻的布莱兹·帕斯卡（其父艾蒂安·帕斯卡三年前去世，生前与费马有学术往来）来信请教概率论问题，二人在 1654 年夏的五封信中共同奠定了概率论。费马却总想把话题从概率引回数论，帕斯卡对此兴趣不大。1656 年起他又与惠更斯通信，1659 年通过卡尔卡维把《数论新发现》寄给惠更斯，罕见地透露了部分"无穷递降法"。

1665 年 1 月 12 日，费马在卡斯特尔去世，享年 63 岁。他的数学遗产大多以书信与书页边注形式留存，1670 年由其子萨米埃尔（Samuel）整理出版了巴歇（Bachet）译丢番图《算术》的带父注版本，那些著名的边注才得以公之于世。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 解析几何（与笛卡尔各自独立创立）

问题背景：如何用代数方法系统地研究曲线轨迹？韦达已用符号处理几何量，但未把曲线作为方程的整体来研究。

关键思想：在《平面与立体轨迹引论》（Introduction to Plane and Solid Loci，约 1629—1630 年写成，生前未刊）中，费马取一条基准轴与轴上一定点，用未知量 $A$（横坐标）和 $E$（纵坐标，与轴成定角）表示平面上的点，从而把一条轨迹对应为一个含两个未知量的方程。他明确提出："凡含两个未知量的方程，都对应一条轨迹——直线或曲线。"

精确表述：他写出了直线 $ax+by=c$、圆、椭圆、抛物线、双曲线的方程，并断言二次方程总对应圆锥曲线（阿波罗尼奥斯定理的代数版本）。他是第一个用方程研究一般二次曲线的人。"平面轨迹"指直线与圆，"立体轨迹"指圆锥曲线——这一分类沿用自古希腊。

与前人关系：与笛卡尔几乎同时独立发现。费马侧重"由方程研究轨迹的性质"，笛卡尔侧重"由几何问题化为方程求解"；二人的符号体系不同，费马沿用韦达的文字符号（较笨拙），笛卡尔的符号更现代，因而传播更广。

局限性：因费马不主动出版，其工作在生前影响远不如笛卡尔的《几何学》；他的符号体系（用元音表未知量）也比笛卡尔的繁琐，妨碍了传播（Boyer 指出这是其分析成果被延迟承认的原因之一）。

2. 求极大极小值与切线的方法（微分学前驱）

问题背景：如何求函数的极值点与曲线的切线？这是微积分诞生前夕最核心的技术问题。

关键思想：费马在《求极大极小与曲线切线的方法》（Methodus ad disquirendam maximam et minimam，1630 年代）中发明了"等周/逼近法"（adequality，他称之为 adaequare）：设 $f(x)$ 在 $x$ 处取极值，则把 $x$ 换成 $x+e$，令 $f(x+e)$ 与 $f(x)$ "逼近相等"，相减消去公共项，除以 $e$，再令 $e=0$，所得方程的解即为极值点。

精确表述：以现代语言，这等价于令 $f'(x)=\lim_{e\to 0}\frac{f(x+e)-f(x)}{e}=0$。例如对 $f(x)=bx-x^2$，他令 $b(x+e)-(x+e)^2 \approx bx-x^2$，化简得 $be-2xe-e^2\approx 0$，除以 $e$ 并令 $e=0$，得 $b-2x=0$，即 $x=b/2$，正是抛物线顶点。对切线，他用类似的"重根"思想：割线两交点重合时即为切线。

与前人关系：这是历史上第一个系统的求极值算法，本质上已触及导数概念，比牛顿、莱布尼茨早约三十年。它直接启发了后来的微分法。

局限性：费马从未解释为什么"逼近相等后令 $e=0$"是合法的（这正是微积分基础的逻辑漏洞，要到柯西、魏尔斯特拉斯才用极限严格化）；方法对超越函数等一般情形未作推广。

3. 近代数论的开创

问题背景：数论自丢番图以来沉寂千年，费马把它从"求个别解"提升为"研究整数一般性质"的系统学科。

关键思想：费马提出了一系列关于整数的深刻定理，并发明了无穷递降法（method of infinite descent）作为核心证明工具：若某性质对一个数成立，则必对一个更小的同类数成立，如此递降必产生矛盾，故原假设不成立。

精确表述（其主要数论成果）： - 费马小定理（1640 年致弗雷尼克尔的信）：若 $p$ 为素数，$a$ 不被 $p$ 整除，则 $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$。等价形式 $a^p\equiv a \pmod p$。费马陈述但未给出完整证明，欧拉 1736 年首证。 - 费马大定理：写在丢番图《算术》页边——方程 $x^n+y^n=z^n$（$n>2$）无正整数解，并声称"我发现了一个真正奇妙的证明，可惜页边太窄写不下"。1994 年由怀尔斯（Andrew Wiles）证明，距此 358 年。现代学界普遍认为费马当时的"证明"是错误的（他后来只挑战了 $n=3$ 等特殊情形，可能已意识到一般证明有误）。 - 两平方和定理：每个形如 $4k+1$ 的素数都可唯一表示为两个平方数之和。费马宣称用无穷递降法证明，但未写出完整步骤；欧拉约百年后补全证明。 - 费马素数：形如 $F_n=2^{2^n}+1$ 的数。费马猜想对所有 $n$ 均为素数（$F_0=3,F_1=5,F_2=17,F_3=257,F_4=65537$ 确为素数）；但欧拉 1732 年发现 $F_5=4294967297=641\times 6700417$，猜想被推翻。 - 无穷递降法证明了 $\sqrt{2}$ 等无理数，以及某些丢番图方程无解。

与前人关系：丢番图的《算术》是其直接灵感来源，但费马把"找一个解"变成"研究解的结构与存在性"，是质的飞跃。

局限性：费马几乎从不发表完整证明，导致其成果长期无人能接力，数论在他身后沉寂近百年，直到欧拉才重新拾起并补全证明。他的"奇妙证明"成了数学史上最著名的悬案。

4. 与帕斯卡共创概率论

问题背景：赌金分配问题（problem of points）：若一场赌博在分出胜负前中断，应如何按双方已获胜局比例公平分配赌金？这是 17 世纪数学家讨论已久的难题（帕乔利、塔尔塔利亚、卡尔达诺都曾尝试但未解决）。

关键思想：1654 年夏，帕斯卡就该问题致信费马，二人往返五封信。他们的核心洞察是：不应按已胜局数分配，而应按双方从当前局面最终获胜的概率（即期望）分配。他们系统地枚举了剩余所有可能的等可能结果（组合方法），计算各方赢得赌金的比例。

精确表述：对两人游戏，若甲还需 $a$ 局胜、乙还需 $b$ 局胜，则赌金按甲获胜的概率分配。他们用组合数 $\sum_{k=0}^{b-1}\binom{a+b-1}{k}$ 与 $\sum_{k=b}^{a+b-1}\binom{a+b-1}{k}$ 之比给出解（以剩余最多 $a+b-1$ 局全部比完的虚拟模型计算）。这等价于引入了"数学期望"的概念。

与前人关系：卡尔达诺曾有初步概率思想，但系统的概率计算与"期望"观念由帕斯卡—费马通信正式确立，二人被公认为概率论的共同奠基人。

局限性：他们只解决了两人问题，未发展出解决三人及以上问题的一般方法；概率论的公理化要到 20 世纪（柯尔莫哥洛夫）。

5. 积分雏形：幂函数求积

问题背景：求曲线下面积（求积）是积分学前夜的另一核心问题，卡瓦列里用不可分量法计算了 $x^n$ 的积分（$n\leq 9$）。

关键思想：费马用几何级数分割区间，计算了 $\int_0^a x^r\,dx$，其中 $r$ 为任意有理数（$r\neq -1$），把卡瓦列里的结果推广到分数幂。

精确表述：对积分 $\int_0^a x^r\,dx$（$r$ 为有理数，$r\neq -1$），费马把区间 $[0,a]$ 按公比 $q<1$ 的几何级数分点 $a, aq, aq^2,\dots$ 分割，每个小区间上用矩形近似，求和后令 $q\to 1$，得到结果 $\frac{a^{r+1}}{r+1}$。这与现代定积分结果一致，是积分学的重要先驱工作，也用于求重心。

与前人关系：卡瓦列里得到整数幂（$n\leq 9$）的 $\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)$，费马推广到有理幂，方法更一般，已隐含极限思想。

局限性：未形成一般的积分算法与微积分基本定理；与微分工作之间的互逆关系也未被他明确指出。

6. 费马原理（几何光学的变分原理）

问题背景：光在折射中走什么路径？笛卡尔已发表正弦定律但推导受费马批评。

关键思想：约 1650 年代，费马重新审视笛卡尔的光学时提出一个基本公设：光总是沿费时最短的路径传播（后称为费马原理）。他据此重新推导出了与斯涅尔—笛卡尔相同的折射正弦定律，但出发点是变分（取极值）而非力学小球模型。

精确表述：费马原理（现代形式）：光从一点到另一点所走的实际路径，使传播时间（或光程 $\int n\,ds$）取驻值。由此，在均匀介质中光走直线（最短路）；在介质分界面处，用极值条件可推出 $\sin i/\sin r = v_1/v_2 = n_2/n_1$。

与前人关系：亚历山大的希罗（Heron）曾提出光走最短路（反射），费马把它推广为最短时间（含折射），是变分法思想的远古先声，深刻影响了后来的莫培督、欧拉、拉格朗日的最小作用量原理。

局限性：当时未被数学家接受；且费马的原始表述是"最短路径"，严格的"最短时间/驻值"形式由后人完善。在各向异性介质中实际是取驻值而非总是最短。

四、代表著作与文献

费马生前几乎不出版专著，其成果散见于书信与边注，身后由其子整理。

• 《平面与立体轨迹引论》（Introduction to Plane and Solid Loci，约 1629—1630 年手稿，1679 年身后出版）：解析几何的奠基文献之一。
• 《求极大极小与曲线切线的方法》（Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum，1630 年代，1679 年出版）：微分学前驱。
• 丢番图《算术》的页边注（1670 年由其子萨米埃尔出版于巴歇译本中）：含费马大定理等数论猜想。
• 《数学论集》（Varia Opera Mathematica，1679，由其子萨米埃尔编订出版）：费马著作的首次系统结集。
• 与梅森、帕斯卡、惠更斯、卡尔卡维等的通信：其成果的主要一手载体；1654 年与帕斯卡的五封信是概率论的诞生文献。

五、师承、学派与同时代交往

• 师承：无明确数学名师。在波尔多受博格兰影响，通过研读韦达、阿波罗尼奥斯（复原其著作）、丢番图、阿基米德自学成才。
• 学派归属：不属于任何哲学—数学学派；是法国图卢兹的"业余"独立研究者，与巴黎梅森学院圈保持通信但保持距离。
• 同时代交往：
• 马林·梅森：把他引入巴黎学界的关键联络人。
• 皮埃尔·卡尔卡维：图卢兹同事、挚友，费马成果的重要传递者。
• 布莱兹·帕斯卡：概率论的共同创立者，1654 年五封通信；帕斯卡在其父（艾蒂安·帕斯卡，与费马有学术往来）去世后主动联系费马。
• 笛卡尔：主要学术对手。二人就《折光学》和切线方法激烈争论，费马被证明正确，但笛卡尔暗中损害其声誉。
• 克里斯蒂安·惠更斯：1656 年起通信；费马把《数论新发现》寄给他，但惠更斯更关心概率，数论话题不投缘。
• 弗雷尼克尔·德·贝西：当时少数对数论感兴趣的人，但才能不足以推进；常被费马的难题激怒。
• 约翰·沃利斯、布龙克尔：费马向欧洲数学家挑战求解 Pell 方程 $Nx^2+1=y^2$，沃利斯与布龙克尔用连分数给出解法。
• 同时代学者：罗伯瓦尔、艾蒂安·帕斯卡（与费马讨论积分与重心）。

六、争议、公案与历史评价

• 解析几何的优先权（与笛卡尔）：二人各自独立创立。费马约 1629 年已成文但生前未出版；笛卡尔 1637 年率先发表《几何学》，影响更大。现代史家承认独立创立、各有侧重。费马自己在优先权上态度谦和。
• 与笛卡尔的切线与光学之争：费马批评笛卡尔《折光学》是"在阴影中摸索"，笛卡尔恼羞成怒攻击费马的切线法，结果费马正确，笛卡尔公开承认却又私下诋毁。这暴露了笛卡尔的好胜。
• 费马大定理的"奇妙证明"：现代学界普遍认为费马当年的一般证明是错误的，理由是他后来只向人挑战 $n=3$ 等特例（可能已察觉一般证明有误），且当时的数学工具远不足以证明一般情形。但也不能完全排除他有某个特殊思路——属历史悬案，无定论。
• 出生日期争议：是否有同名早夭兄长，导致现有生日归属可能有误，学界存疑。
• 不发表的风格：费马刻意不透露证明，导致数论在其身后近百年无人能继；欧拉后来几乎是从头重建。有人批评这是学术责任的缺失，也有人认为这是其性格与时代风气使然。
• 历史评价：被誉为"业余数学家之王"，是近代数论的唯一开创者；在解析几何、微积分前驱、概率论、光学变分原理四个方向都有奠基性贡献。高斯称其数论工作是他自己研究的起点；现代代数数论、代数几何的许多分支都可追溯到费马大定理的研究。

七、身后影响与学术谱系

• 对数论：费马大定理的 358 年攻坚催生了代数数论、理想理论、椭圆曲线、模形式等整个现代数学分支。怀尔斯 1994 年的证明是 20 世纪数学的里程碑。其小定理是现代密码学（RSA）的基础。
• 对微积分：极值/切线方法（费马引理：可微函数内点极值处导数为零）和幂函数求积，直接汇入牛顿—莱布尼茨的微积分。
• 对概率论：与帕斯卡共创，经惠更斯、雅格布·伯努利、拉普拉斯发展为成熟学科。
• 对变分法与理论物理：费马原理启发了莫培督的最小作用量原理，经欧拉—拉格朗日发展为分析力学的基础，在量子力学（费曼路径积分）中仍有回响。
• 文化符号：费马大定理是数学史上最著名的难题；"页边太窄"成为数学传说的经典意象。法国有以他命名的图卢兹数学研究所（Institut de Mathématiques de Toulouse）与费马奖。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor 数学史档案：Pierre de Fermat：圣安德鲁斯大学权威传记，本档案主要史实出处。
• Dictionary of Scientific Biography — Fermat (PDF, MacTutor 托管)：科学史权威传记条目。
• Wikipedia: Pierre de Fermat：交叉核对生平与著作。
• Wikipedia: Fermat's Last Theorem：大定理的历史与怀尔斯证明。
• Wikipedia: Fermat's little theorem：小定理的陈述与应用。
• Wikipedia: Fermat's theorem on sums of two squares：两平方和定理与无穷递降法。
• Wikipedia: Fermat's principle：光学最短时间原理。
• Britannica: Pierre de Fermat：百科条目交叉核对。
• Michael S. Mahoney, The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (Princeton, 1973/1994)：标准学术传记。
• Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory (Springer, 1977/1996)：大定理的数学史解读。