秦九韶（Qin Jiushao / Ch'in Chiu-shao）

南宋数学家，《数书九章》（1247）的作者；其「大衍求一术」给出一次同余方程组的一般解法（中国剩余定理），「正负开方术」给出任意高次多项式方程的数值解法，两项成就分别领先欧拉–高斯与鲁菲尼–霍纳约五百年。

一、生平与时代背景

秦九韶，字道古，西文旧作 Ch'in Chiu-shao（威妥玛拼音）。关于其生年学界有争议：李俨、钱宝琮主 1202 年说，而现今数学史界普遍认为是 1208 年（嘉定二年）；卒年一般作 1261 年（景定二年），卒于梅州（今广东梅县），亦有 1268 年之说，存疑。

其先世为鲁郡（今山东济宁兖州、曲阜一带）人，祖上世代为官；但他出生于普州安岳（今四川安岳），父亲秦季槱（字宏父）曾知潼川府、任工部郎中、秘书少监兼国史院编修官。由于父亲掌管工程、屯田、水利与经籍图书，少年秦九韶得以博览各类学问。他在《数书九章》自序中写道：「早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学。」——即在首都（临安，今杭州）的太史局学习天文历法，并向一位隐士学习数学（这位「隐君子」的姓名已不可考）。

秦九韶多才多艺：星象、音律、算术、营造（建筑）无不精究，亦擅击剑、骑射。但其人品在史料中评价极差：同时代人周密《癸辛杂识》、刘克庄《缴秦九韶知临江军状》等记载他「暴如虎狼，毒如蛇蝎」，为官贪暴、涉嫌下毒、非法贩盐致富、欺诈友人吴潜土地、禁锢家中女性不与饮食等。这些记载历来聚讼不一，近人徐品方、孔国平认为周密等记载「失实，严重歪曲了秦九韶的形象」，而钱宝琮则认可其「性喜奢好大」。如何评价秦九韶的私德，至今未有定论，但这些争议并不影响其数学成就的客观价值。

他的一生在南宋与蒙古交战的乱世中度过：18 岁在乡里为义兵首领，后历任县尉、通判、知州等职，辗转四川、湖北、安徽、浙江、海南、广东多地，宦途因党争（吴潜与贾似道之争）屡遭贬黜，最终卒于梅州任所。1244 年因母丧去官，在湖州守制期间（约 1244—1247），潜心撰成《数书九章》，自述「历岁遥塞，荏苒十禩」（历经十年）。

二、学术生涯年表

三、核心成果（逐条技术解析）

1. 大衍求一术：一次同余方程组的一般解法（中国剩余定理）

《数书九章》第一卷「大衍类」给出了求解一次同余方程组的完整算法，即后世所称「中国剩余定理」的一般算法。问题原型见于约 4—5 世纪的《孙子算经》「物不知数」：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

但《孙子算经》只给了模数两两互素的特例。秦九韶的突破在于：系统处理模数 $m_i$ 不两两互素的一般情形，并给出求「乘率」的机械算法。其术语与步骤如下：

• 给定 $x\equiv a_i\pmod{m_i}$（$i=1,\dots,n$）；先化约模数，剔除公因数，使新「定数」$\mu_i$ 两两互素而解集不变（因中国古代无素因数分解概念，他用一系列等价变换技巧完成，这是最困难的一步）。
• 令「衍母」$M=\prod \mu_i$，「衍数」$M_i=M/\mu_i$。
• 求「乘率」$k_i$，使 $k_i M_i\equiv 1\pmod{\mu_i}$。
• 则解为 $x\equiv \sum_{i=1}^n a_i k_i M_i\pmod{M}$。

求乘率 $k_i$ 的算法即「大衍求一术」，实质是对 $M_i$ 与 $\mu_i$ 做辗转相除（欧几里得算法），逐步回代求得逆元。值得注意的是，秦九韶并不把此法据为己有，自称得自太史局的历算家，但「他们只会用而不懂其理」，真正把它一般化、理论化的是秦九韶本人。

比利时学者 U. Libbrecht 评价：「我们不应低估秦九韶的革命性进步——从《孙子》的单一道剩问题，一跃而至求解剩问题的一般程序，甚至比高斯的方法还先进，且没有任何渐进演化的迹象。」欧拉未能圆满解决此问题，直到高斯《算术研究》（1801）、勒贝格与斯蒂尔切斯才在欧洲重新独立完成。

2. 正负开方术：任意高次方程的数值解（鲁菲尼–霍纳法）

《数书九章》系统运用「正负开方术」求解任意次多项式方程的正根。它是对贾宪「增乘开方法」的发展：允许方程系数为正、负乃至零，规定「实常为负」（即把方程统一写成 $f(x)=0$ 的形式，常数项取负号以便统一处理），再以随乘随加的方式逐位求根。这与西方 19 世纪的鲁菲尼–霍纳法本质相同，但早了约五百五十年。

书中出现了高达十次的方程。例如卷四「测望类」的圆城问题（北门北 3 里有树，出南门东行 9 里恰见树，求城径），归结为

$$x^{10}+15x^8+72x^6-864x^4-11664x^2-34992=0,$$

求得 $x=3$，故城径 $x^2=9$ 里（此方程实为关于 $x^2$ 的五次方程）。此外还解有三次、四次方程及线性方程组。当根为无理数时，秦九韶继承刘徽的做法，继续开方以十进小数逼近——这一近似方法在刘徽之后长期无人问津，由秦九韶重新启用。

局限：只取正根，不讨论负根与复根；书中部分方程只给一个根而漏给其他正根（MacTutor 指出一例方程另一正根 $x=1008$ 未给出）。

3. 三斜求积：已知三边求三角形面积（与海伦公式等价）

卷五「田域类」给出「三斜求积」公式：设三角形三斜（三边）为 $a\ge b\ge c$（大斜、中斜、小斜），则面积

$$A=\sqrt{\frac14\left[a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2\right]}.$$

该公式与希腊海伦公式 $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$（其中 $s=\frac{a+b+c}{2}$）代数等价，但是否独立发现、是否经由丝绸之路传播，学界未有定论。秦九韶用以解决沙田等不规则地块的测量问题。

4. 零的符号与位值制的成熟运用

秦九韶在书中使用小圆圈「○」作为零的符号，并指出「古书中皆为空位」。这标志着中国记数法中零已从空位演变为明确的书写符号，便利了高次方程系数表（天元术式）的表示与运算，也间接反映了与印度—阿拉伯记数传统可能存在的交流（但 MacTutor 指出印度处理同余问题的方法与之差异较大，故大衍术不太可能源自印度）。

5. 线性方程组与天文、测量应用

全书 81 题皆取材于当时的实际需要：天文历法（推算「上元积年」，这正是大衍求一术的现实动机——古历以同余方程组求理想历元）、雨雪测量、田亩测绘、远距离测量、赋税、钱粮、建筑、军事、商业。卷中线性方程组的求解已相当熟练，例如一个三元一次方程组给出 $(x,y,z)=(300,180,64)$，方法与高斯消元一致。

四、代表著作与文献

• 《数书九章》（1247，时名《数学大略》）：十八卷，81 题，分大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类。体例仿《九章算术》而难度与理论高度远超之。清乾隆间收入《四库全书》（题《数学九章》）。现代有 U. Libbrecht 英文研究（1973）、白尚恕《〈数书九章〉今译》、国学大师等电子全文。
• 其他诗文、历算著作皆佚。

五、师承、学派与同时代交往

• 师承：少年从「隐君子」学数学（姓名不可考），并在太史局习天文历法；其大衍求一术自称得自历算家的口传但由其理论化。
• 学术脉络：承《九章算术》与刘徽、祖冲之、贾宪的开方传统。其「正负开方术」直接源自贾宪的「增乘开方法」。
• 同时代人：与李冶、杨辉大致同时（三人并称宋元数学代表），但三人似乎互不引用——秦九韶《数书九章》在当时影响有限，稍后的杨辉、朱世杰均未征引其成果（zh.wikipedia 等指出），其价值到清代与现代才被重新认识。
• 政治交往：与宰相吴潜交好，因吴潜被贾似道排挤而受株连被贬；此为其宦途跌宕的主因。

六、争议、公案与历史评价

• 生年：1202 年（李俨、钱宝琮）vs 1208 年（今学界主流），未有定论，本文取 1208。
• 卒年：1261 年（主流）vs 1268 年（一说），存疑。
• 私德评价：周密、刘克庄记载其贪暴酷虐，近人有翻案之论；钱宝琮亦指其著作中有「好高骛远、哗众取宠」之嫌。人品评价至今分歧，与数学成就应分开看待。
• 原创性质疑：因秦九韶有偷盗之名，曾有人怀疑大衍术是否窃取他人成果；但 Libbrecht 等认为此法无渐进痕迹、秦九韶确实深谙其理，窃取之说无法成立。
• 大衍术与印度的关系：其零符号暗示可能接触印度知识，但印度同余问题解法与秦法差异较大，MacTutor 认为源自印度的可能性很低。
• 常见误传：「中国剩余定理」之名系西方所加，中国原称「大衍求一术」；且秦九韶不仅是特例，而是给出了模数不互素的一般解法，这一点常被简化叙述所忽略。

七、身后影响与学术谱系

秦九韶是宋元数学高峰的标志人物，萨顿（G. Sarton）称其为「他那个民族、他那个时代，乃至所有时代最伟大的数学家之一」。其两项核心贡献的影响跨越时空：

1. 大衍求一术是中国古代数学最具世界意义的成果之一，现代数论中的「中国剩余定理」在密码学、计算机科学（如中国剩余定理加速 RSA、CRC 校验）中广泛应用；
2. 正负开方术（秦九韶算法）是数值分析中多项式求值与求根的基础算法，至今仍用于计算器与计算机代数系统。

遗憾的是，《数书九章》在宋元之际未被充分重视，杨辉、朱世杰均未引用，其成果到清代中叶才被学者重新发掘并与西方霍纳法比较，进而确立秦九韶的历史地位。从谱系看：贾宪 → 秦九韶（正负开方术、大衍术）→ 清中叶复兴 → 现代中算史学科。

八、延伸阅读与权威来源

• MacTutor: Qin Jiushao (1202—1261)：圣安德鲁斯大学权威传记，含生平、各卷内容、十次方程算例与大衍术分析。（注意 MacTutor 取 1202 生年，与中文维基的 1208 说不同。）
• 秦九韶 - 维基百科（中文）：含生年争议、大衍求一术术语体系、三斜求积公式与正负开方术说明。
• Dictionary of Scientific Biography: Qin Jiushao (Peng-Yoke Ho 撰，经 MacTutor)：经典科学传记词典条目。
• 数书九章 - 国学大师：《数书九章》四库全书本全文，含大衍类、正负开方术的原文。
• 科普中国 / 中国数字科技馆：不定方程组——百钱买百鸡之外（同类科普资源可检索「大衍求一术」）：中国科协对中国古代同余问题的普及。
• U. Libbrecht, Chinese Mathematics in the Thirteenth Century: The Shu-shu chiu-chang of Ch'in Chiu-shao (MIT Press, 1973)：秦九韶《数书九章》的权威英文研究。
• J-C Martzloff, A History of Chinese Mathematics (Springer, 1997)：中算通史，定位秦九韶的历史坐标。
• 钱宝琮：《秦九韶数书九章研究》《增乘开方术的历史发展》（载《李俨钱宝琮科学史全集》第九卷）。